$ABC$$I$$BI$$CI$$ABC$$E$$F$$M$$EF$$C$$EF$$IM$$C$$L$$K$$BC$$ABC$$A$$D$$\frac{DL}{IL}=\frac{DK}{IK}$

6 Se da un hexágono inscrito $AB_1CA_1BC_1$ . La circunferencia $\omega$ está inscrita en ambos triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ y toca los segmentos $AB$ y $A_1B_1$ en los puntos $D$ y $D_1$ respectivamente. Demuestre que si $\angle ACD = \angle BCD_1$ , entonces $\angle A_1C_1D_1 = \angle B_1C_1D$ .

5 $2 \ 000 \ 000$ puntos con coordenadas enteras están marcados en el eje numérico. Se consideran segmentos de longitudes $97$ , $100$ y $103$ con extremos en estos puntos. ¿Cuál es el mayor número de tales segmentos?

18 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que admite una circunferencia inscrita. Sea $AB$ prolongado más allá de $B$ que corta a $DC$ prolongado hacia $C$ en $E$ . Sea $BC$ prolongado más allá de $C$ que corta a $AD$ prolongado hacia $D$ en $F$ . Sea $G$ el punto de la recta $AB$ tal que $FG \parallel CD$ , y sea $H$ el punto de la recta $BC$ tal que $EH \parallel AD$ . Demuestre que el cuadrilátero (cóncavo) $EGFH$ admite una circunferencia exinscrita tangente a $\overline{EG}, \overline{EH}, \overrightarrow{FG}, \overrightarrow{FH}$ . Propuesto por Rijul Saini Rijul

2 Sea $\Delta ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$ . Sea $T$ el simétrico de $C$ respecto a $O$ y sea $T'$ la reflexión de $T$ respecto a la recta $AB$ . La recta $BT'$ interseca a $\omega$ nuevamente en $R$ . La perpendicular a $CT$ que pasa por $O$ interseca a la recta $AC$ en $L$ . Sea $N$ la intersección de las rectas $TR$ y $AC$ . Demuestre que $\overline{CN}=2\overline{AL}$ .

4 Consideremos todos los trinomios cuadráticos posibles de la forma $x^2 + ax + b$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos que no exceden algún entero positivo $N$ . Demuestre que el número de pares de tales trinomios que tienen una raíz común no excede $N^2$ .

3 En el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ se eligió el punto $P$ . El punto $E$ es simétrico al punto $B$ respecto a la recta $AP$ . El segmento $PE$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ en el punto $D$ . $M$ es el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que $DE+AC>2BM$ .

2 Se dan $32$ monedas reales y $32$ monedas falsas de la misma apariencia. Todas las monedas falsas pesan igual y menos que las reales, que también pesan todas lo mismo. ¿Cómo determinar el tipo de al menos siete monedas en seis pesajes en una balanza con dos platillos?

1 En las celdas del tablero de $2024\times 2024$ se colocan enteros de modo que en cualquier rectángulo de $2 \times 2023$ (vertical u horizontal) con una celda de esquina recortada que no sobrepase el tablero, la suma de los números sea divisible por $13$ . Demuestre que la suma de todos los números del tablero es divisible por $13$ .

7 Un turista ha llegado a una isla donde viven $100$ magos, cada uno de los cuales puede ser caballero o mentiroso. Él sabe que en el momento de su llegada, uno de los cien magos es caballero (pero no sabe quién exactamente), y el resto son mentirosos. El turista puede elegir dos magos cualesquiera $A$ y $B$ y pedirle a $A$ que lance sobre $B$ el hechizo "Whoosh"!, el cual cambia la esencia (convierte a un caballero en mentiroso y a un mentiroso en caballero). Los magos cumplen las peticiones del turista, pero si en ese momento el mago $A$ es caballero, entonces la esencia de $B$ realmente cambia, y si $A$ es mentiroso, no cambia. El turista quiere conocer la esencia de al menos $k$ magos al mismo tiempo después de varias peticiones consecutivas. ¿Para cuál $k$ máximo podrá lograr su objetivo?