59 Dados siete puntos en el plano, algunos de ellos están conectados por segmentos de tal manera que: (i) entre cualesquiera tres de los puntos dados, dos están conectados por un segmento; (ii) el número de segmentos es mínimo. ¿Cuántos segmentos tiene una figura que satisface (i) y (ii)? Dé un ejemplo de tal figura.

60 Una familia de conjuntos $ A_1, A_2, \ldots ,A_n$ tiene las siguientes propiedades: (i) Cada $ A_i$ contiene 30 elementos. (ii) $ A_i \cap A_j$ contiene exactamente un elemento para todos $ i, j, 1 \leq i < j \leq n.$ Determine el mayor $ n$ posible si la intersección de todos estos conjuntos es vacía.

61 Demuestre que para $ 0 < k \leq 1$ y $ a_i \in \mathbb{R}^+,$ $ i = 1,2 \ldots, n$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ \left( \frac{a_1}{a_2 + \ldots + a_n} \right)^k + \ldots + \left( \frac{a_n}{a_1 + \ldots + a_{n-1}} \right)^k \geq \frac{n}{(n-1)^k}.\]

62 Dado un polígono convexo $ A_1A_2 \ldots A_n$ con área $ S$ y un punto $ M$ en el mismo plano, determine el área del polígono $ M_1M_2 \ldots M_n,$ donde $ M_i$ es la imagen de $ M$ bajo la rotación $ R^{\alpha}_{A_i}$ alrededor de $ A_i$ por $ \alpha_i, i = 1, 2, \ldots, n.$

63 Sean $ l_i,$ $ i = 1,2,3$ tres rectas no colineales en el plano, que forman un triángulo, y $ f_i$ las reflexiones axiales respecto de $ l_i$ . Demuestre que para cada punto $ P$ del plano existe una cantidad finita de interconexiones (composiciones) de las reflexiones $ f_i$ que lleva $ P$ al triángulo formado por las rectas $ l_i,$ es decir, que aplica ese punto a un punto interior del triángulo.

64 En cada casilla de un tablero de ajedrez $ m \times n$ está escrito un número natural. El movimiento permitido consiste en sumar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes de tal manera que se obtengan números no negativos. (Dos casillas son adyacentes si tienen un lado común.) Halle una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones.

1. Determina todos los conjuntos finitos y no vacíos $\mathcal{S}$ de enteros positivos tales que para todo $a,b\in\mathcal{S}$ existe $c\in\mathcal{S}$ con $a\mid b+2c$.

16 Sean $O$ y $G$ el circuncentro y el baricentro del triángulo $ABC,$ respectivamente, y sea $M$ el punto medio del lado $\overline{BC}.$ Dado que $OG=1, OM = \sqrt{2},$ y $GM = \sqrt{3},$ calcule el área del triángulo $ABC.$

65 Sea $ ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo de radio $ AB$ tal que $ BC = a, CD = b,$ $ DA = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{2} \cdot a$ Para cada punto $ M$ de la semicircunferencia de radio $ AB$ que no contiene a $ C$ ni a $ D,$ denótese por $ h_1, h_2, h_3$ las distancias desde $ M$ a las rectas (lados) $ BC, CD,$ y $ DA.$ Halle el máximo de $ h_1 + h_2 + h_3.$

66 Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demuestre que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]