1 Sea $S$ un conjunto finito, y sea $F$ una familia de subconjuntos de $S$ tal que a) Si $A\subseteq S$ , entonces $A\in F$ si y solo si $S\setminus A\notin F$ ; b) Si $A\subseteq B\subseteq S$ y $B\in F$ , entonces $A\in F$ . Determine si debe existir una función $f:S\to\mathbb{R}$ tal que para todo $A\subseteq S$ , $A\in F$ si y solo si \[\sum_{s\in A}f(s)<\sum_{s\in S\setminus A}f(s).\] Evan O'Dorney.

2 Un grafo dirigido tiene cada vértice con grado de salida 2. Demuestre que es posible dividir los vértices en 3 conjuntos de modo que para cada vértice $v$ , $v$ no esté simultáneamente en el mismo conjunto con ambos vértices a los que apunta. David Yang. Versión más fuerte: véase aquí .

2013.2.2 Sean \(A, B, C\) y \(D\) puntos sobre la circunferencia \(\Gamma\) tales que las rectas \(AB\) y \(CD\) se intersectan en el punto \(T\), donde \(A\) está entre \(B\) y \(T\), y \(D\) está entre \(C\) y \(T\). Sea la paralela a la recta \(AB\) que pasa por \(D\) la que intersecta a la circunferencia \(\Gamma\) nuevamente en el punto \(E\), y sea la recta \(ET\) la que intersecta a \(\Gamma\) nuevamente en el punto \(F\). Sea \(G\) la intersección de las rectas \(CF\) y \(AB\). Sea \(X\) el punto medio del segmento \(AB\), y sea \(Y\) el punto obtenido al reflejar \(T\) a través de \(G\). Demuestra que los puntos \(X, Y, C\) y \(D\) son concíclicos.

3 A Wanda la Gusana le gusta comerse el triángulo de Pascal. Un día, comienza en la parte superior del triángulo y se come $\textstyle\binom{0}{0}=1$ . En cada movimiento, viaja a un entero positivo adyacente y se lo come, pero nunca puede volver a un lugar que ya se haya comido. Si Wanda nunca puede comerse números $a,b,c$ tales que $a+b=c$ , demuestre que es posible que se coma 100,000 números en las primeras 2011 filas, dado que no está restringida a viajar solo dentro de las primeras 2011 filas. (Aquí, la fila $n+1$ s t del triángulo de Pascal consiste en entradas de la forma $\textstyle\binom{n}{k}$ para enteros $0\le k\le n$ . Así, la entrada $\textstyle\binom{n}{k}$ se considera adyacente a las entradas $\textstyle\binom{n-1}{k-1}$ , $\textstyle\binom{n-1}{k}$ , $\textstyle\binom{n}{k-1}$ , $\textstyle\binom{n}{k+1}$ , $\textstyle\binom{n+1}{k}$ , $\textstyle\binom{n+1}{k+1}$ . ) Linus Hamilton.

4 Considere la cuadrícula infinita de puntos de la retícula en $\mathbb{Z}^3$ . Little D y Big Z juegan un juego, donde Little D primero pierde un zapato en un punto no masticado de la cuadrícula. Luego, Big Z mastica un plano sin zapatos perpendicular a uno de los ejes coordenados. Continúan alternando turnos de esta manera, con el objetivo de Little D de perder un zapato en cada uno de $n$ puntos consecutivos de la retícula sobre una recta paralela a uno de los ejes coordenados. Determine todos los $n$ para los cuales Little D puede lograr su objetivo. David Yang.

5 Demuestre que existe una constante $c$ (independiente de $n$ ) tal que para cualquier grafo $G$ con $n>2$ vértices, podemos dividir $G$ en un bosque y a lo sumo $cf(n)$ ciclos disjuntos, donde a) $f(n)=n\ln{n}$ ; b) $f(n)=n$ . David Yang.

6 ¿Existen enteros positivos $k$ y $n$ tales que para cualquier grafo finito $G$ con diámetro $k+1$ existe un conjunto $S$ de a lo sumo $n$ vértices tal que para cualquier $v\in V(G)\setminus S$ , existe un vértice $u\in S$ a distancia a lo sumo $k$ de $v$ ? David Yang.

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $E,F,G,H$ puntos sobre los segmentos $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ , respectivamente, y sea $P$ la intersección de $EG$ y $FH$ . Dado que los cuadriláteros $HAEP$ , $EBFP$ , $FCGP$ , $GDHP$ tienen todos circunferencias inscritas, demuestre que $ABCD$ también tiene una circunferencia inscrita. Evan O'Dorney.

2 Sea $p\ge5$ un primo. Demuestre que \[\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{p}{k}3^k\equiv 2^p - 1\pmod{p^2}.\] Victor Wang.

3 Sea $ABC$ un triángulo. Trace circunferencias $\omega_A$ , $\omega_B$ y $\omega_C$ tales que $\omega_A$ es tangente a $AB$ y $AC$ , y $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Sea $P_A$ el centro de similitud interna de $\omega_B$ y $\omega_C$ . Defina $P_B$ y $P_C$ de manera similar. Demuestre que $AP_A$ , $BP_B$ y $CP_C$ son concurrentes. Tom Lu.