B4 El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. a) Determine todas las ternas de enteros $(x,y,q)$ que satisfacen la ecuación \[ x^3+x^2+x+1=y^q\] donde $q\geq 3$ es impar. b) Determine todas las cuádruplas de enteros $(x,y,n,q)$ que satisfacen la ecuación \[ x^n+x^{n-1} + \dots+x+1=y^q\] donde $n,q \geq 2$ .

Un conjunto finito de enteros positivos $A$ se llama *meanly* si para cada uno de sus subconjuntos no vacíos, la media aritmética de sus elementos es también un entero positivo. En otras palabras, $A$ es *meanly* si $\frac{1}{k}(a_1 + \dots + a_k)$ es un entero siempre que $k \ge 1$ y $a_1, \dots, a_k \in A$ sean distintos. Dado un entero positivo $n$, determina la menor suma posible de los elementos de un conjunto *meanly* de $n$ elementos.

8 Determina todas las cuádruplas $(x,y,z,t)$ de enteros positivos tales que \[ 20^x + 14^{2y} = (x + 2y + z)^{zt}.\]

2 Dado un polígono convexo regular de $2m$ lados $P$ , demuestre que existe un polígono de $2m$ lados $\pi$ con los mismos vértices que $P$ (pero en distinto orden) tal que $\pi$ tiene exactamente un par de lados paralelos.

1 La fracción $\frac{3}{10}$ puede escribirse como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ de la siguiente manera: $\frac{3}{10} =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$ y también $\frac{3}{10}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ . Estas son las únicas dos maneras en que esto puede hacerse. ¿De cuántas maneras puede escribirse $\frac{3}{1984}$ como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ ? ¿Existe un entero positivo $n,$ no divisible por $3$ , tal que $\frac{3}{n}$ pueda escribirse como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ en exactamente $1984$ maneras?

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, respectivamente. Sea $F$ el punto tal que $D$ es el punto medio de $\overline{EF}$. Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $FDB$. Sea $G$ un punto en el segmento $\overline{CD}$ tal que el punto medio de $\overline{BG}$ está en $\Gamma$. Sea $H$ la segunda intersección de $\Gamma$ con $FC$. Demuestra que el cuadrilátero $BHGC$ es cíclico. Propuesto por Art Waeterschoot.

3 Los lados opuestos del hexágono entrante $AFBDCE$ se intersecan en los puntos $K,L,M$ (como se muestra en la figura). Se da que $AL = AM = a, BM = BK = b$ , $CK = CL = c, LD = DM = d, ME = EK = e, FK = FL = f$ . //cdn.artofproblemsolving.com/images/fad76261a0d1316c87c556c7b67ffd6d94dfec56.png $(a)$ Dada la longitud $a$ y los tres ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ en los vértices $A, B,$ y $C,$ respectivamente, que satisfacen la condición $\alpha+\beta+\gamma<180^{\circ}$ , demuestre que todos los ángulos y lados del hexágono quedan así determinados de manera única. $(b)$ Demuestre que \[\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}\] Versión más fácil de $(b)$ . Demuestre que \[(a + f)(b + d)(c + e)= (a + e)(b + f)(c + d)\]

4 Dado un triángulo $ABC$ , se construyen tres triángulos equiláteros $AEB, BFC$ , y $CGA$ en el exterior de $ABC$ . Demuestre que: $(a) CE = AF = BG$ ; $(b) CE, AF$ , y $BG$ tienen un punto común. No pude encontrar un tema separado para esta pregunta y necesito uno. http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point por supuesto.

5 Para un número real $x$ , sea $[x]$ el mayor entero que no excede a $x$ . Si $m \ge 3$ , demuestre que \[\left[\frac{m(m+1)}{2(2m-1)}\right]=\left[\frac{m+1}{4}\right]\]

6 Sean $P,Q,R$ polinomios con coeficientes reales o complejos tales que al menos uno de ellos no es constante. Si $P^n+Q^n+R^n = 0$ , demuestre que $n < 3.$ Amir