9.1 Un saltamontes está sentado en un vértice de un triángulo equilátero de lado $1$ . En cada movimiento, el saltamontes elige uno de los vértices del triángulo y salta hacia él, reduciendo a la mitad su distancia a ese vértice. ¿Puede el saltamontes, tras varios saltos, acercarse a menos de $0.1$ del baricentro (intersección de las medianas) del triángulo?

B4 El plano euclidiano se divide en regiones al dibujar un número finito de circunferencias. Demuestra que es posible colorear cada una de estas regiones de rojo o azul de tal manera que no haya dos regiones adyacentes con el mismo color.

B5 Demuestra que para todo entero $n$ mayor que $1:$ $$\frac{3n+1}{2n+2} < \left( \frac{1}{n} \right)^{n} + \left( \frac{2}{n} \right)^{n}+ \ldots+\left( \frac{n}{n} \right)^{n} <2.$$

B6 Sea $$f(x) =\sum_{k=0}^{n} a_{k} \sin kx +b_{k} \cos kx,$$ donde $a_k$ y $b_k$ son constantes. Demuestra que si $|f(x)| \leq 1$ para $x \in [0, 2 \pi]$ y existen $0\leq x_1 < x_2 <\ldots < x_{2n} < 2 \pi$ con $|f(x_i )|=1,$ entonces $f(x)= \cos(nx +a)$ para alguna constante $a.$

A1 La gráfica de la ecuación $x^y =y^x$ en el primer cuadrante consiste en una recta y una curva. Encuentra las coordenadas de la intersección de la recta y la curva.

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Si $M, N, K$ son los puntos medios de los segmentos $AB, BC$ y $CD$, respectivamente, y además existe un punto $P$ dentro del cuadrilátero $ABCD$ tal que $\angle BPN= \angle PAD$ y $\angle CPN=\angle PDA$. Demuestre que $AB \cdot CD=4PM\cdot PK$.

A2 Para una función con valores reales $f(x,y)$ de dos variables reales positivas $x$ y $y$, define que $f$ está acotada linealmente si y solo si existe un número positivo $K$ tal que $|f(x,y)| < K(x+y)$ para todos los $x$ y $y$ positivos. Encuentra condiciones necesarias y suficientes sobre los números reales $\alpha$ y $\beta$ para que $x^{\alpha}y^{\beta}$ esté acotada linealmente.

A3 Evalúa $$ \lim_{n\to \infty} \sum_{j=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^2 +j^2 }. $$

A4 Sea $\Omega(n)$ el número de factores primos de $n$. Define $f(1)=1$ y $f(n)=(-1)^{\Omega(n)}$. Además, sea $$F(n)=\sum_{d|n} f(d).$$ Demuestra que $F(n)=0,1$ para todos los enteros positivos $n$. ¿Para qué enteros $n$ es $F(n)=1$?

2 Los números del $1$ al $2000$ se colocan en los vértices de un polígono regular de $2000$ lados, uno en cada vértice, de modo que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros $A, B, C, D$ satisfacen que $1 \leq A<B<C<D \leq 2000$, entonces el segmento que une los vértices de los números $A$ y $B$ y el segmento que une los vértices de $C$ y $D$ no se intersecan dentro del polígono. Demuestre que existe un cuadrado perfecto tal que el número diametralmente opuesto a él no es un cuadrado perfecto.