1 Determine todos los enteros positivos $n,$ tales que $3^n+n^2+2019$ es un cuadrado perfecto.

2 Sean $O,H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $K$ la intersección de $AM$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle BHC$ , tal que $M$ está entre $A$ y $K$ . Sea $N$ la intersección de $HK$ y $BC$ . Demuestre que si $\angle BAM=\angle CAN$ , entonces $AN\perp OH$ .

2 Suponga que $p,q$ son números primos tales que $\sqrt{p^2 +7pq+q^2}+\sqrt{p^2 +14pq+q^2}$ es un entero. Demuestre que $p = q$ .

4 Halle todos los números primos $p$ , tales que exista un número infinito de enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: $p|n^{ n+1}+(n+1)^n.$ (29 de septiembre de 2012, Hohhot)

4 Sea $n$ un entero dado tal que $n\ge 2$ . Determine el menor número real $\lambda$ con la siguiente propiedad: para cualesquiera números reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n\in [0,1]$ , existen enteros $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots ,\varepsilon_n\in\{0,1\}$ tales que la desigualdad $$\left\vert \sum^j_{k=i} (\varepsilon_k-x_k)\right\vert\le \lambda$$ se cumple para todos los pares de enteros $(i,j)$ donde $1\le i\le j\le n$ .

5 En el triángulo acutángulo $ABC,$ $AB>AC.$ Sean $O,H$ el circuncentro y el ortocentro de $\triangle ABC,$ respectivamente. La recta que pasa por $H$ y es paralela a $AB$ interseca a la recta $AC$ en $M,$ y la recta que pasa por $H$ y es paralela a $AC$ interseca a la recta $AB$ en $N.$ $L$ es la reflexión del punto $H$ respecto a $MN.$ Las rectas $OL$ y $AH$ se intersecan en $K.$ Demuestre que $K,M,L,N$ son concíclicos.

6 Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n (n\ge 2)$ números positivos tales que $a_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_n .$ Demuestre que $$\sum_{1\leq i< j \leq n} (a_i+a_j)^2\left(\frac{1}{i^2}+\frac{1}{j^2}\right)\geq 4(n-1)\sum_{i=1}^{n}\frac{a^2_i}{i^2}.$$

7 Demuestre que para todo entero positivo $k,$ existen finitamente muchos conjuntos $T$ que satisfacen las siguientes dos propiedades: $(1)T$ consta de finitamente muchos números primos; $(2)\textup{ }\prod_{p\in T} (p+k)$ es divisible por $ \prod_{p\in T} p.$

8 Llamamos a un conjunto $S$ un buen conjunto si $S=\{x,2x,3x\}(x\neq 0).$ Para un entero dado $n(n\geq 3),$ determine el mayor número posible de subconjuntos buenos de un conjunto que contiene $n$ enteros positivos.

1 Los números reales $x_1, x_2, \dots, x_{2018}$ satisfacen $x_i + x_j \geq (-1)^{i+j}$ para todo $1 \leq i < j \leq 2018$ . Determine el mínimo valor posible de $\sum_{i=1}^{2018} ix_i$ .