3 Sean $a,b,c $ números reales positivos. Demuestre que $\sqrt[7]{\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}} +\sqrt[7]{\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a}}+\sqrt[7]{\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}}\geq 3$

4 Inicialmente, los números $1,1,-1$ están escritos en la pizarra. En cada paso, Mikail elige dos números $a,b$ y los sustituye por $2a+c$ y $\frac{b-c}{2}$ donde $c$ es el número no elegido de la pizarra. Demuestre que al menos $1$ número negativo debe permanecer en la pizarra en cualquier paso.

5 En $\triangle ABC\ T$ es un punto que se encuentra sobre la bisectriz interior del ángulo $B$ . Sea $\omega$ la circunferencia con diámetro $BT$ . $\omega$ interseca a $BA$ y $BC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Una circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a $\omega$ en $P$ interseca a $AC$ nuevamente en $X$ . Una circunferencia que pasa por $B$ y es tangente a $\omega$ en $Q$ interseca a $AC$ nuevamente en $Y$ . Demuestre que $TX=TY$

Resuelva el sistema de ecuaciones para $(x,y) \in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(x-4)^2+(y-3)^2}=5\\ 3x^2+4xy=24 \end{matrix}\right.$$ Explique su respuesta

Para todo $n>1$ sea $f(n)$ la suma del menor factor de $n$ que no es 1 y de $n$ . La computadora imprime $f(2),f(3),f(4),...$ en orden: $4,6,6,...$ (porque $f(2)=2+2=4,f(3)=3+3=6,f(4)=4+2=6$ etc.). En esta sucesión infinita, ¿cuántas veces se escribirán $ 2015$ y $ 2016$ ? (Explique su respuesta)

Demuestre que $\frac{(x + y + z)^2}{3} \ge x\sqrt{yz} + y\sqrt{zx} + z\sqrt{xy}$ para todos los reales no negativos $x, y, z$ .

Un rombo y un trapecio isósceles que tienen la misma área se dibujan en el exterior de la misma circunferencia. Compare sus ángulos agudos (explique su respuesta)

Un estudiante escribió primero $x=3$ en la pizarra. En cada proceso, el estudiante borra el número x y lo reemplaza por $(2x+4)$ , $(3x+8)$ o $(x^2+5x)$ . ¿Es posible obtener el número $(20^{17}+2016)$ en la pizarra? (Explique su respuesta) Nota: Este tipo de pregunta es bien conocida, pero voy a hacer una colección, así que :blush:

1 Cuatro amigos compraron una pelota. El primero pagó la mitad del precio de la pelota. El segundo dio un tercio del dinero que dieron los otros tres. El tercero pagó un cuarto de la suma pagada por los otros tres. El cuarto pagó $5\$$ . ¿Cuánto costó la pelota?

3 En una escuela primaria había $94$ estudiantes en $7$ -ésimo grado. Algunos estudiantes participan en actividades extracurriculares: lengua española, lengua alemana y deportes. Lengua española la estudian $40$ estudiantes fuera del programa escolar, lengua alemana $27$ estudiantes y $60$ estudiantes hacen deportes. De los estudiantes que hacen deportes, $24$ de ellos también van a lengua española. $10$ estudiantes que estudian español también estudian alemán. $12$ estudiantes que estudian alemán también hacen deportes. Solo $4$ estudiantes van a las tres actividades. ¿Cuántos de ellos hacen solo una de las actividades, y cuántos de ellos no van a ninguna actividad?