43 Se da un punto fijo $A$ en el interior de una circunferencia. Considere todas las cuerdas $XY$ de la circunferencia tales que $\angle XAY$ es un ángulo recto, y para todas esas cuerdas construya el punto $M$ simétrico de $A$ con respecto a $XY$ . Halle el lugar geométrico de los puntos $M$ .

44 Demuestre que a partir de un conjunto de diez números distintos de dos cifras, siempre es posible encontrar dos subconjuntos disjuntos cuyos miembros tengan la misma suma.

45 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $O$ . Sea una recta que pasa por $O$ e interseca al segmento $AB$ en $M$ y al segmento $CD$ en $N$ . Demuestre que el segmento $MN$ no es más largo que al menos uno de los segmentos $AC$ y $BD$ .

46 Los números $1, 2,\cdots, 16$ están escritos en una matriz cuadrada de $4\times 4$ de modo que la suma de los números en cada fila, cada columna y cada diagonal es la misma y, además, los números $1$ y $16$ están en esquinas opuestas. Demuestre que la suma de dos números cualesquiera simétricos con respecto al centro del cuadrado es igual a $17$ .

1 Si $n>4$ es un número compuesto, entonces $2n$ divide a $(n-1)!$ .

1 Sea $ A_0 = (a_1,\dots,a_n)$ una sucesión finita de números reales. Para cada $ k\geq 0$ , a partir de la sucesión $ A_k = (x_1,\dots,x_k)$ construimos una nueva sucesión $ A_{k + 1}$ de la siguiente manera. 1. Elegimos una partición $ \{1,\dots,n\} = I\cup J$ , donde $ I$ y $ J$ son dos conjuntos disjuntos, tal que la expresión \[ \left|\sum_{i\in I}x_i - \sum_{j\in J}x_j\right| \] alcanza el valor más pequeño. (Permitimos que $ I$ o $ J$ sean vacíos; en este caso la suma correspondiente es 0.) Si hay varias particiones de este tipo, se elige una arbitrariamente. 2. Fijamos $ A_{k + 1} = (y_1,\dots,y_n)$ donde $ y_i = x_i + 1$ si $ i\in I$ , y $ y_i = x_i - 1$ si $ i\in J$ . Demuestre que para algún $ k$ , la sucesión $ A_k$ contiene un elemento $ x$ tal que $ |x|\geq\frac n2$ . Autor: Omid Hatami, Irán Omid

2 Tracey horneó un pastel cuadrado cuya superficie está disectada en una cuadrícula de $ 10 \times 10$ . En algunos de los cuadros quiere poner una fresa de modo que para cada cuatro cuadros que compongan un rectángulo cuyos lados sean paralelos a los bordes del pastel haya al menos una fresa. ¿Cuál es el número mínimo de fresas requeridas?

2 Sea $ ABC$ un triángulo fijo, y sean $ A_1$ , $ B_1$ , $ C_1$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente. Sea $ P$ un punto variable sobre la circunferencia circunscrita. Las rectas $ PA_1$ , $ PB_1$ , $ PC_1$ cortan de nuevo a la circunferencia circunscrita en $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ , respectivamente. Suponga que los puntos $ A$ , $ B$ , $ C$ , $ A'$ , $ B'$ , $ C'$ son distintos, y que las rectas $ AA'$ , $ BB'$ , $ CC'$ forman un triángulo. Demuestre que el área de este triángulo no depende de $ P$ . Autor: Christopher Bradley, Reino Unido

En el triángulo $ABC$ , el punto $O$ es el centro de la circunferencia excrita que es tangente al lado $BC$ , mientras que las otras dos circunferencias excritas son tangentes a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ respectivamente. Una recta que pasa por $O$ perpendicular a $MN$ interseca la recta $BC$ en $P$ . Determine la razón $AB/AC$ , sabiendo que la razón entre el área de $\triangle ABC$ y el área de $\triangle MNP$ es $2R/r$ , donde $R$ es el circunradio y $r$ el inradio de $\triangle ABC$ .

3 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: los $k$ divisores positivos de $n$ tienen una permutación $(d_1,d_2,\ldots,d_k)$ tal que para $i=1,2,\ldots,k$ , el número $d_1+d_2+\cdots+d_i$ es un cuadrado perfecto.