4 Una herramienta de corte de una máquina tiene la forma de un círculo con una muesca, como se muestra. El radio del círculo es $\sqrt{50}$ cm, la longitud de $AB$ es 6 cm, y la de $BC$ es 2 cm. El ángulo $ABC$ es un ángulo recto. Encuentra el cuadrado de la distancia (en centímetros) desde $B$ al centro del círculo. [asy] size(150); defaultpen(linewidth(0.65)+fontsize(11)); real r=10; pair O=(0,0),A=r*dir(45),B=(A.x,A.y-r),C; path P=circle(O,r); C=intersectionpoint(B--(B.x+r,B.y),P); draw(Arc(O, r, 45, 360-17.0312)); draw(A--B--C);dot(A); dot(B); dot(C); label("$A$",A,NE); label("$B$",B,SW); label("$C$",C,SE); [/asy]

5 Supón que la suma de los cuadrados de dos números complejos $x$ y $y$ es 7 y la suma de los cubos es 10. ¿Cuál es el mayor valor real que puede tener $x + y$?

Siete Veinticinco de los caballeros del Rey Arturo están sentados en su acostumbrada mesa redonda. Tres de ellos son elegidos — todas las elecciones de tres son igualmente probables — y son enviados a matar a un molesto dragón. Sea $P$ la probabilidad de que al menos dos de los tres hubieran estado sentados uno junto al otro. Si $P$ se escribe como una fracción en sus términos más bajos, ¿cuál es la suma del numerador y el denominador?

8 ¿Cuál es el factor primo de 2 dígitos más grande del entero $n = \binom{200}{100}$?

9 Encuentra el valor mínimo de \[\frac{9x^2 \sin^2 x + 4}{x \sin x}\] para $0 < x < \pi$ .

10 Los números 1447, 1005 y 1231 tienen algo en común: cada uno es un número de cuatro dígitos que empieza con 1 y tiene exactamente dos dígitos idénticos. ¿Cuántos números de este tipo hay?

11 El sólido mostrado tiene una base cuadrada de lado $s$. El borde superior es paralelo a la base y tiene longitud $2s$. Todos los demás bordes tienen longitud $s$. Dado que $s = 6 \sqrt{2}$, ¿cuál es el volumen del sólido? [asy] import three; size(170); pathpen = black+linewidth(0.65); pointpen = black; currentprojection = perspective(30,-20,10); real s = 6 * 2^.5; triple A=(0,0,0),B=(s,0,0),C=(s,s,0),D=(0,s,0),E=(-s/2,s/2,6),F=(3*s/2,s/2,6); draw(F--B--C--F--E--A--B); draw(A--D--E, dashed); draw(D--C, dashed); label("$2s$", (s/2, s/2, 6), N); label("$s$", (s/2, 0, 0), SW); [/asy]

El diámetro \(AB\) de un círculo tiene una longitud que es un entero de 2 dígitos (en base diez). Al invertir los dígitos se obtiene la longitud de la cuerda perpendicular \(CD\). La distancia desde su punto de intersección \(H\) hasta el centro \(O\) es un número racional positivo. Determina la longitud de \(AB\).

13 Para $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ y para cada uno de sus subconjuntos no vacíos se define una suma alternante única de la siguiente manera: Ordena los números del subconjunto en orden decreciente y luego, comenzando con el mayor, alterna sumar y restar los números sucesivos. (Por ejemplo, la suma alternante para $\{1, 2, 4, 6, 9\}$ es $9 - 6 + 4 - 2 + 1 = 6$ y para $\{5\}$ es simplemente 5.) Encuentra la suma de todas esas sumas alternantes para $n = 7$.

14 En la figura adjunta, se dibujan dos círculos de radios 6 y 8 con sus centros separados 12 unidades. En \(P\), uno de los puntos de intersección, se traza una recta de modo que las cuerdas \(QP\) y \(PR\) tengan igual longitud. Encuentra el cuadrado de la longitud de \(QP\).