1 Sea $k>1$ un entero positivo dado. Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama bueno si podemos colorear el conjunto de los enteros positivos con $k$ colores de modo que ningún entero de $S$ pueda representarse como suma de dos enteros positivos del mismo color. Halle el mayor $t$ tal que el conjunto $S=\{a+1,a+2,\ldots ,a+t\}$ sea bueno para todos los enteros positivos $a$ . A. Ivanov, E. Kolev

2 Halle el menor número real $m$ tal que con cualesquiera $5$ triángulos equiláteros cuya suma de áreas sea $m$ se pueda cubrir un triángulo equilátero de lado 1. O. Mushkarov, N. Nikolov

Suponga que hay varias cajas de jugo, una de las cuales está envenenada. Usted tiene $n$ cobayos para probar las cajas. La prueba ocurre de la siguiente manera: en cada ronda, puede hacer que los cobayos prueben cualquier cantidad de cajas de jugo. Recíprocamente, una caja de jugo puede ser probada por cualquier cantidad de cobayos. Después de que termina la ronda, cualquier cobayo que haya probado el jugo envenenado muere. Suponga que debe encontrar la caja de jugo envenenada en a lo sumo $k$ rondas. ¿Cuál es el número máximo de cajas de jugo para el cual esto es posible?

9 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la perpendicular desde $A$ al lado $BC$. Se da que $\angle AOD=90^\circ$ y $OD=4\sqrt{7}$. Sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Sea $AO$ que intersecta a $EF$ en un punto $P$. Dado que $AP=11$, encuentra la longitud del segmento $EF$.

En $\triangle ABC$ , $DB$ y $DC$ son tangentes a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Sea $B'$ el reflejo de $B$ con respecto a la recta $AC$ y defina de manera análoga $C'$ . Si la recta $BC$ interseca la circunferencia circunscrita de $\triangle DB'C'$ en $E$ y $F$ , demuestre que $AE = AF$ .

2 El triángulo $ABC$ es tal que $\angle BAC=30^{\circ},\angle ABC=45^{\circ}$ . Demuestre que si $X$ se encuentra en el rayo $AC$ , $Y$ se encuentra en el rayo $BC$ y $OX=BY$ , donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , entonces $S_{XY}$ pasa por un punto fijo. Emil Kolev

$G$$|G|=p^em$$p$$(p,m)=1$$a$$p$$G$$H<G$$|H|=p^e$$a|m$$p|a-1$$p$

2 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n},\] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Demuestre que \[\sum_{k=1}^{n}[\alpha^{k}F_{k}+\frac{1}{2}]=F_{2n+1}\; \forall n>1.\] N.T.TUAN

1 Para todos los números reales positivos \( a, b, c \) , demuestre que \[ \frac{(a^2 + bc)^2}{b + c} + \frac{(b^2 + ca)^2}{c + a} + \frac{(c^2 + ab)^2}{a + b} \geq \frac{2abc(a + b + c)^2}{ab + bc + ca}. \] Propuesto por Hakan Karakuş, Türkiye

2 Determine todos los números de la forma $$20252025... 2025$$ (que consisten en uno o más bloques consecutivos de $2025$ ) que son cuadrados perfectos de enteros positivos. Propuesto por Ognjen Tešić, Serbia X.Allaberdiyev