4 Para $n(n\geq3)$ enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ . Coloque los números sobre una circunferencia. En cada operación, calcule la diferencia entre dos números adyacentes y tome su valor absoluto. Coloque los $n$ números obtenidos en otra circunferencia (sin cambiar su orden). Halle todos los $n$ tales que, sin importar cómo se den $a_1,a_2,\cdots,a_n$ , todos los números de la circunferencia sean iguales después de un número finito de operaciones.

8 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n,$ tales que $2018 | \left( 1+2^n+3^n+4^n \right).$

1 Una sucesión \(\{a_n\}\) se define de la siguiente manera: \(a_1 = 1\) , \(a_2 = \frac{1}{3}\) , y para todo \(n \geq 1,\) \(\frac{(1+a_n)(1+a_{n+2})}{(1+a_n+1)^2} = \frac{a_na_{n+2}}{a_{n+1}^2}\) . Demuestre que, para todo \(n \geq 1\) , \(a_1 + a_2 + ... + a_n < \frac{34}{21}\) .

2 Demuestre que existen infinitos enteros \(n\) que satisfacen \(2017^2 | 1^n + 2^n + ... + 2017^n\) .

3 Sea \(D\) el punto medio del lado \(BC\) del triángulo \(ABC\) . Sean \(E, F\) puntos sobre los lados \(AB, AC\) respectivamente tales que \(DE = DF\) . Demuestre que \(AE + AF = BE + CF \iff \angle EDF = \angle BAC\) .

4 Sea \(Q\) un conjunto de permutaciones de \(1,2,...,100\) tal que para todo \(1\leq a,b \leq 100\) , \(a\) puede encontrarse a la izquierda de \(b\) y adyacente a \(b\) en a lo sumo una permutación de \(Q\) . Halle el mayor número posible de elementos de \(Q\) .

5 El triángulo \(ABC\) tiene \(AB > AC\) y \(\angle A = 60^\circ \) . Sea \(M\) el punto medio de \(BC\) , \(N\) el punto del segmento \(AB\) tal que \(\angle BNM = 30^\circ\) . Sean \(D,E\) puntos sobre \(AB, AC\) respectivamente. Sean \(F, G, H\) los puntos medios de \(BE, CD, DE\) respectivamente. Sea \(O\) el circuncentro del triángulo \(FGH\) . Demuestre que \(O\) se encuentra sobre la recta \(MN\) .

6 Halle todos los enteros \(n\) tales que existe un pentágono cóncavo que puede ser diseccionado en \(n\) triángulos congruentes.

7 Sea \(S(n)\) la suma de los dígitos de la representación en base 10 de un número natural \(n\) . Por ejemplo, \(S(2017) = 2+0+1+7 = 10\) . Demuestre que para todo primo \(p\) , existen infinitos \(n\) que satisfacen \(S(n) \equiv n \mod p\) .

8 Sea \(n>1\) un entero, y sean \(x_1, x_2, ..., x_n\) números reales que satisfacen \(x_1, x_2, ..., x_n \in [0,n]\) con \(x_1x_2...x_n = (n-x_1)(n-x_2)...(n-x_n)\) . Halle el valor máximo de \(y = x_1 + x_2 + ... + x_n\) .