5 Una tira consta de $n$ casillas que están numeradas en su orden por los enteros $1,2,3,..., n$ . Al principio, una casilla está vacía mientras que cada casilla restante contiene una ficha. Siempre que una casilla contiene una ficha y alguna de sus casillas vecinas contiene otra ficha mientras que la casilla inmediatamente siguiente a la casilla vecina está vacía, se puede levantar la primera ficha por encima de la segunda hasta la casilla vacía, retirando la segunda ficha de la tira. Halle todas las posibilidades de cuál casilla puede estar inicialmente vacía, si es posible alcanzar un estado en el que la tira contenga solo una ficha y a) $n = 2008$ , b) $n = 2009$ .

6 Para cualquier entero positivo $n$ , sea $c(n)$ el mayor divisor de $n$ no mayor que $\sqrt{n}$ y sea $s(n)$ el menor entero $x$ tal que $n < x$ y el producto $nx$ sea divisible por un entero $y$ donde $n < y < x$ . Demuestre que, para todo $n$ , $s(n) = (c(n) + 1) \cdot \left( \frac{n}{c(n)}+1\right)$

1 Hay $2008$ participantes en una competencia de programación. En cada ronda, todos los programadores se dividen en dos equipos del mismo tamaño. Halle el número mínimo de rondas tras el cual puede existir una situación en la que cada par de programadores haya estado en equipos distintos al menos una vez.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyos puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ son $F$ y $G$ , respectivamente. a) Demuestre la siguiente implicación: si las bisectrices de los ángulos en $B$ y $D$ del cuadrilátero se intersecan en la diagonal $AC$ entonces $\frac14 \cdot |AC| \cdot |BD| = | AG| \cdot |BF| \cdot |CG| \cdot |DF|$ . b) ¿Vale también siempre la implicación recíproca?

4 La sucesión $(G_n)$ se define por $G_0 = 0, G_1 = 1$ y $G_n = G_{n-1} + G_{n-2} + 1$ para todo $n \ge2$ . Demuestre que para todo entero positivo $m$ existen dos términos consecutivos de la sucesión que son ambos divisibles por $m$ .

5 Los puntos $A$ y $B$ están fijos sobre una circunferencia $c_1$ . La circunferencia $c_2$ , cuyo centro está sobre $c_1$ , es tangente a la recta $AB$ en $B$ . Otra recta que pasa por $A$ interseca a $c_2$ en los puntos $D$ y $E$ , donde $D$ está entre $A$ y $E$ . La recta $BD$ interseca a $c_1$ nuevamente en $F$ . Demuestre que la recta $EB$ es tangente a $c_1$ si y solo si $D$ es el punto medio del segmento $BF$ .

6 Una cadena de paréntesis es cualquier palabra que se puede componer mediante las siguientes reglas. 1) () es una cadena de paréntesis. 2) Si $s$ es una cadena de paréntesis entonces $(s)$ es una cadena de paréntesis. 3) Si $s$ y t son cadenas de paréntesis entonces $st$ es una cadena de paréntesis. El midcódigo de una cadena de paréntesis es la tupla de números naturales que se obtiene hallando, para todos los pares de paréntesis de apertura y su correspondiente paréntesis de cierre, el número de caracteres que quedan a la izquierda de la posición media entre estos paréntesis, y escribiendo todos estos números en orden no decreciente. Por ejemplo, el midcódigo de $(())$ es $(2,2)$ y el midcódigo de ()() es $(1,3)$ . Demuestre que los midcódigos de dos cadenas de paréntesis distintas cualesquiera son distintos.

1 En el panel de control de una central nuclear hay $n$ interruptores eléctricos ( $n > 0$ ) , todos en una fila. Cada interruptor tiene dos posiciones posibles: arriba y abajo. Los interruptores están conectados entre sí de tal manera que, siempre que un interruptor baja desde su posición superior, su vecino derecho (si existe) cambia automáticamente de posición. Al principio, todos los interruptores están abajo. El operador del panel primero cambia la posición del interruptor más a la izquierda una vez, luego la posición del segundo interruptor más a la izquierda dos veces, etc., hasta que finalmente cambia la posición del interruptor más a la derecha n veces. ¿Cuántos interruptores quedan arriba después de todas estas operaciones?

2 Sea $D$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ trazada desde el vértice $A$ . Sean $E$ y $F$ los puntos simétricos de $D$ con respecto a las rectas $AB$ y $AC$ , respectivamente. Sean $R_1$ y $R_2$ los circunradios de los triángulos $BDE$ y $CDF$ , respectivamente, y sean $r_1$ y $r_2$ los inradios de los mismos triángulos. Demuestre que $|S_{ABD} - S_{ACD}| > |R_1r_1 - R_2r_2|$

3 Sea $n$ un número natural, $n > 2$ . Demuestre que si $\frac{b^n-1}{b-1}$ es una potencia de primo para algún entero positivo $b$ entonces $n$ es primo.