6 El cuadrado $ABCD$ está inscrito en un círculo. El cuadrado $EFGH$ tiene los vértices $E$ y $F$ sobre $\overline{CD}$ y los vértices $G$ y $H$ sobre el círculo. La razón del área del cuadrado $EFGH$ al área del cuadrado $ABCD$ se puede expresar como $\frac{m}{n}$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos y $m<n$. Encuentra $10n+m$.

7 Sea $\triangle{PQR}$ un triángulo rectángulo con $PQ=90$, $PR=120$ y $QR=150$. Sea $C_{1}$ el círculo inscrito. Construye $\overline{ST}$ con $S$ sobre $\overline{PR}$ y $T$ sobre $\overline{QR}$, tal que $\overline{ST}$ sea perpendicular a $\overline{PR}$ y tangente a $C_{1}$. Construye $\overline{UV}$ con $U$ sobre $\overline{PQ}$ y $V$ sobre $\overline{QR}$ tal que $\overline{UV}$ sea perpendicular a $\overline{PQ}$ y tangente a $C_{1}$. Sea $C_{2}$ el círculo inscrito de $\triangle{RST}$ y $C_{3}$ el círculo inscrito de $\triangle{QUV}$. La distancia entre los centros de $C_{2}$ y $C_{3}$ se puede escribir como $\sqrt{10n}$. ¿Cuál es $n$?

1 Halle todas las sucesiones de enteros de la forma $ x_i, 1 \le i \le 1997$ que satisfacen $ \sum_{k=1}^{1997} 2^{k-1} x_{k}^{1997}=1996\prod_{k=1}^{1997}x_k$ .

Llamemos a un entero positivo $N$ un $\textit{7-10 doble}$ si los dígitos de la representación en base 7 de $N$ forman un número en base 10 que es el doble de $N.$ Por ejemplo, 51 es un 7-10 doble porque su representación en base 7 es 102. ¿Cuál es el mayor 7-10 doble?

9 En el triángulo $ABC$, $AB=13$, $BC=15$ y $CA=17$. El punto $D$ está sobre $\overline{AB}$, $E$ está sobre $\overline{BC}$, y $F$ está sobre $\overline{CA}$. Sea $AD=p\cdot AB$, $BE=q\cdot BC$, y $CF=r\cdot CA$, donde $p$, $q$ y $r$ son positivos y satisfacen $p+q+r=2/3$ y $p^2+q^2+r^2=2/5$. La razón del área del triángulo $DEF$ al área del triángulo $ABC$ se puede escribir en la forma $m/n$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n$.

Sea $S$ el conjunto de puntos cuyas coordenadas $x,$ $y,$ y $z$ son enteros que satisfacen $0\le x\le2,$ $0\le y\le3,$ y $0\le z\le4.$ Se eligen al azar dos puntos distintos de $S.$ La probabilidad de que el punto medio del segmento que determinan también pertenezca a $S$ es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m+n.$

En un arreglo rectangular de puntos, con 5 filas y $N$ columnas, los puntos se numeran consecutivamente de izquierda a derecha comenzando por la fila superior. Así, la fila superior se numera del 1 al $N$, la segunda fila se numera de $N+1$ a $2N$, y así sucesivamente. Se seleccionan cinco puntos, $P_1, P_2, P_3, P_4$ y $P_5$, de modo que cada $P_i$ esté en la fila $i$. Sea $x_i$ el número asociado con $P_i$. Ahora renumera el arreglo consecutivamente de arriba hacia abajo, comenzando por la primera columna. Sea $y_i$ el número asociado con $P_i$ después de la renumeración. Se encuentra que $x_1=y_2$, $x_2=y_1$, $x_3=y_4$, $x_4=y_5$ y $x_5=y_3$. Encuentra el menor valor posible de $N$.

Dado un triángulo, su triángulo medio se obtiene uniendo los puntos medios de sus lados. Se define una sucesión de poliedros \(P_{i}\) recursivamente de la siguiente manera: \(P_{0}\) es un tetraedro regular cuyo volumen es 1. Para obtener \(P_{i+1}\), reemplaza el triángulo medio de cada cara de \(P_{i}\) por un tetraedro regular que apunta hacia afuera y que tiene ese triángulo medio como una de sus caras. El volumen de \(P_{3}\) es \(\frac{m}{n}\), donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \(m+n\).

En un cierto círculo, la cuerda de un arco de $d$ grados mide 22 centímetros de largo, y la cuerda de un arco de $2d$ grados es 20 centímetros más larga que la cuerda de un arco de $3d$ grados, donde $d<120.$ La longitud de la cuerda de un arco de $3d$ grados es $-m+\sqrt{n}$ centímetros, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Encuentra $m+n.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con longitudes de lado $AB=BC=2$, $CD=2\sqrt3$, $DA=2\sqrt5$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ respectivamente, y $MN=\sqrt2$. Encuentra el área del cuadrilátero $ABCD$.