4 ¿Cuántos números $\overline{abcd}$ con dígitos distintos satisfacen la siguiente propiedad: si reemplazamos el dígito mayor por el dígito $1$ , el resultado es un múltiplo de $30$ ?

5 El círculo $o$ contiene a los círculos $m$ , $p$ y $r$ , de modo que son tangentes interiormente a $o$ y cualesquiera dos de ellos son tangentes entre sí. Los radios de los círculos $m$ y $p$ son iguales a $x$ . El círculo $r$ tiene radio $1$ y pasa por el centro del círculo $o$ . Halle el valor de $x$ .

6 Dos enteros positivos $n,m\ge 2$ se llaman aliados si, al escribirlos como producto de primos (no necesariamente distintos): $n=p_1p_2...p_s$ y $m=q_1q_2...q_t$ , resulta que: $$p_1 + p_2 + ... + p_s = q_1 + q_2 + ... + q_t$$ (a) Demuestre que el mayor aliado de cualquier entero positivo debe tener solo $2$ y $3$ en su factorización prima. (b) Halle el mayor número que es aliado de $2021$ .

1 Un cuadrado se divide en $25$ cuadrados unitarios trazando rectas paralelas a los lados del cuadrado. Se trazan algunas diagonales de los cuadrados unitarios de modo que dos diagonales no compartan puntos. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse con esta propiedad?

2 Sea $ABCD$ un cuadrado. Sean $M$ y $K$ puntos sobre los segmentos $BC$ y $CD$ respectivamente, tales que $MC = KD$ . Sea $ P$ la intersección de los segmentos $MD$ y $BK$ . Demuestre que $AP$ es perpendicular a $MK$ .

3 Halle el mayor valor que puede tomar la expresión $a^3b + b^3a$ donde $a, b$ son números reales no negativos, con $a + b = 3$ .

4 El rectángulo $ABCD$ tiene lados $AB = 3$ , $BC = 2$ . El punto $ P$ sobre el lado $AB$ es tal que la bisectriz del ángulo $CDP$ pasa por el punto medio $M$ de $BC$ . Halle $BP$ .

4 Hay $57$ palitos dispuestos de la siguiente manera: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/5/758c6904e1f0e0c2145ae6983e45bf6b92b9a7.png Un movimiento consiste en quitar $3$ palitos que formen una de las siguientes figuras: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/d/3754ad35c956b139ae773a8685967d5b72b2cc.png ¿Cuál es el mayor número de movimientos consecutivos que puedes hacer? Demuestra que es el mayor.

6 Partiendo de una pirámide $T_0$ cuyas aristas son todas de longitud $2019$ , construimos la figura $T_1$ considerando los triángulos formados por los puntos medios de las aristas de cada cara de $T_0$ , construyendo en cada uno de estos nuevos triángulos pirámides con caras idénticas a la base. Luego se eliminan las bases de estas nuevas pirámides. La figura $T_2$ se construye aplicando el mismo proceso desde $T_1$ en cada cara triangular resultante de $T_1$ , y así sucesivamente para $T_3, T_4, ...$ Sea $D_0= \max \{d(x,y)\}$ , donde $x$ y $y$ son vértices de $T_0$ y $d(x,y)$ es la distancia entre $x$ y $y$ . Luego definimos $D_{n + 1} = \max \{d (x, y) |d (x, y) \notin \{D_0, D_1,...,D_n\}$ , donde $x, y$ son vértices de $T_{n+1}$ . Halle el valor de $D_n$ para todo $n$ .

1 Halle todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $a^2 -3 \cdot 2^b = 1$ .