Demuestre que si todas las aristas laterales de una pirámide pentagonal tienen la misma longitud y todos los ángulos entre caras laterales vecinas son iguales, entonces la pirámide es regular.

Demuestre que no existen enteros $x$ e $y$ que satisfagan $x^2 + 5 = y^3$ . Daniel Harrer

Se toman puntos $P,Q,R,S$ sobre las aristas respectivas $AC$ , $AB$ , $BD$ y $CD$ de un tetraedro $ABCD$ de modo que $PR$ y $QS$ se intersecan en el punto $N$ y $PS$ y $QR$ se intersecan en el punto $M$ . La recta $MN$ corta al plano $ABC$ en el punto $L$ . Demuestre que las rectas $AL$ , $BP$ y $CQ$ son concurrentes.

Cada lado de un triángulo $ABC$ ha sido dividido en $n+1$ partes iguales. Halle el número de triángulos con vértices en los puntos de división que no tienen ningún lado paralelo a un lado de $\triangle ABC$ ni situado sobre uno de sus lados.

1 Demuestre que si $c$ es un número positivo distinto de $1$ y $n$ un entero positivo, entonces \[n^{2}\leq \frac{c^{n}+c^{-n}-2}{c+c^{-1}-2}. \] N.T.TUAN

Para cada número real $k$ , denotemos por $f(k)$ la mayor de las dos raíces de la ecuación cuadrática $$(k^2+1)x^2+10kx-6(9k^2+1)=0.$$ Demuestre que la función $f(k)$ alcanza un mínimo y un máximo y evalúe estos dos valores.

Un pentágono convexo $ABCDE$ satisface $AB=BC=CA$ y $CD=DE=EC$ . Sea $S$ el centro del triángulo equilátero $ABC$ y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BD$ y $AE$ , respectivamente. Demuestre que los triángulos $SME$ y $SND$ son semejantes.

El conjunto $M=\{1,2,\ldots,2n\}~(n\ge2)$ está particionado en $k$ subconjuntos disjuntos $M_1,M_2,\ldots,M_k$ , donde $k^3+1\le n$ . Demuestre que existen $k+1$ números pares $2j_1,2j_2,\ldots,2j_{k+1}$ en $M$ que están en un mismo subconjunto $M_j$ $(1\le j\le k)$ tales que los números $2j_1-1,2j_2-1,\ldots,2j_{k+1}-1$ están también en un mismo subconjunto $M_r$ $(1\le r\le k)$ .

Se nos da la sucesión $a_1,a_2,a_3,\ldots$ , para la cual: $$a_n=\frac{a^2_{n-1}+c}{a_{n-2}}\enspace\text{for all }n>2.$$ Demuestre que los números $a_1$ , $a_2$ y $\frac{a_1^2+a_2^2+c}{a_1a_2}$ son números enteros.

$k_1$ denota uno de los arcos formados por la intersección de la circunferencia $k$ y la cuerda $AB$ . $C$ es el punto medio de $k_1$ . Sobre la semirrecta $PC$ se traza el segmento $PM$ . Halle el lugar geométrico formado por el punto $M$ cuando $P$ se mueve sobre $k_1$ . G. Ganchev