29 $(GDR 1)$ Encuentra todos los números reales $\lambda$ tales que la ecuación $\sin^4 x - \cos^4 x = \lambda(\tan^4 x - \cot^4 x)$ $(a)$ no tiene solución, $(b)$ tiene exactamente una solución, $(c)$ tiene exactamente dos soluciones, $(d)$ tiene más de dos soluciones (en el intervalo $(0, \frac{\pi}{4}).$

1 Una sucesión de números reales \(a_1,a_2,\dots\) se llama mapuche si \(a_1>0\) y, para todo \(n\ge2\) , \[ a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n \;=\; a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1}. \] ¿Cuál es el número máximo de enteros que puede contener una sucesión así? Nota: el producto tiene \(n\) factores y la suma tiene \(n-1\) sumandos.

2 Considere un tablero de \(n\times n\) dividido en \(n^2\) casillas, con \(n\ge3\) . Inicialmente se elige una casilla y se colocan \(n^2\) monedas sobre ella. Una jugada consiste en elegir una casilla que contenga al menos dos monedas y mover dos de esas monedas a dos casillas que son simétricas respecto de la casilla elegida y comparten al menos un vértice con ella. Los cuatro tipos posibles de jugadas se muestran a continuación. [asy] unitsize(1cm); defaultpen(linewidth(1.2)+fontsize(10pt)); pen gridpen = linewidth(1.2); pen coinstroke = linewidth(1.2); pen coinfill = rgb(1,0.8,0); // orange-like void drawGrid(real xo){ for (int i=0; i<=3; ++i){ draw( (xo+i,0)--(xo+i,3), gridpen ); draw( (xo, i)--(xo+3, i), gridpen ); } } void board(int t, real xo, string labeltext){ drawGrid(xo); pair C = (xo+1.5,1.5); filldraw(circle(C,0.08), black, black); pair P1, P2; if (t==1){ P1=(xo+1.5,2.5); P2=(xo+1.5,0.5); } if (t==2){ P1=(xo+0.5,1.5); P2=(xo+2.5,1.5); } if (t==3){ P1=(xo+0.5,0.5); P2=(xo+2.5,2.5); } if (t==4){ P1=(xo+0.5,2.5); P2=(xo+2.5,0.5); } filldraw(circle(P1,0.25), coinfill, coinstroke); filldraw(circle(P2,0.25), coinfill, coinstroke); draw(C--P1, EndArrow(size=8)); draw(C--P2, EndArrow(size=8)); label(labeltext, (xo+1.5,-0.45)); } board(1,0,"Type 1"); board(2,4,"Type 2"); board(3,8,"Type 3"); board(4,12,"Type 4"); [/asy] Si después de varias jugadas hay exactamente una moneda en cada casilla del tablero, demuestre que el número de jugadas de Tipo 3 es igual al número de jugadas de Tipo 4.

3 Sean \(b\) y \(n\) enteros positivos con \(b\ge 2\) . Defina \(s_b(n)\) como la suma de las cifras de \(n\) expresado en base \(b\) . ¿Existe un entero \(n\ge 2\) tal que \[ s_2(n)\ge s_3(n)\ge \cdots \ge s_{2025}(n)? \] Nota: las cifras de \(n\) expresado en base \(b\) son los enteros \(a_0,a_1,\ldots,a_k\) tales que \[ n=a_0+a_1b+a_2b^2+\cdots+a_kb^k, \] con \(a_k\ne 0\) y \(0\le a_i\le b-1\) para \(i=0,1,\ldots,k\) .

4 Halle todos los pares de números primos $(p,q)$ con $p>q>1$ tales que \[ (p-q-1)^3+(p-q)^3+\cdots+(p-1)^3+p^3+(p+1)^3+\cdots+(p+q)^3+(p+q+1)^3=(3pq)^2. \] Observe que el lado izquierdo de la igualdad tiene $2q+3$ términos, que son cubos de números consecutivos

5 El triángulo $ABC$ es acutángulo con $AB<AC$ . Sea $\omega$ la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ el punto de tangencia de $\omega$ con el lado $BC$ , y sea $L$ el punto de $\omega$ diametralmente opuesto a $D$ . La recta $AL$ interseca al lado $BC$ en el punto $E$ . Sea $N$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que contiene a $A$ . La recta $NL$ interseca de nuevo a $\omega$ en el punto $K$ . Demuestre que los puntos $A,N,E,$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.

30 $(GDR 2)^{IMO1}$ Demuestra que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n.$

G1 Consideramos un cuadrado $ABCD$ y un punto $E$ sobre el segmento $CD$ . La bisectriz de $\angle EAB$ corta al segmento $BC$ en $F$ . Demuestre que $BF + DE = AE$ .

6 Un sultán ha capturado a 23 magos y les propone un juego para liberarlos. El sultán dice que construirá 11 pozos numerados del 1 al 11, y una torre. Dentro de cada pozo colocará a dos magos, y pondrá al mago restante en la torre. Cada mago de los pozos llevará un sombrero de uno de cuatro colores (conocidos por todos), y el mago de la torre llevará un sombrero de uno de 2025 colores (distintos de los otros cuatro y conocidos por todos). Ningún mago sabrá el color de su propio sombrero. Una vez dentro del pozo, cada mago sabrá el número del pozo en el que está; además, solo verá el sombrero del mago de la torre y el sombrero del mago con quien comparte el pozo. El mago de la torre sabrá el número de cada pozo, y podrá ver los sombreros de todos los demás magos. En cierto momento, el sultán dará la orden y, simultáneamente, cada mago dirá: El color de mi sombrero es $x$ , '' donde $x$ es cualquier color que él elija. Si al menos un mago dice la verdad, todos los magos ganan y son liberados; en caso contrario, pierden. Antes de ser colocados en sus posiciones y recibir sus sombreros, los magos tendrán algún tiempo para planear una estrategia, pero no podrán comunicarse después. ¿Pueden garantizar la victoria, sin importar lo que haga el sultán?

32 (GDR 4) Encuentra el número máximo de regiones en las que una esfera puede ser particionada por $n$ círculos.