3 Suponga que $c\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ . Halle el menor $M$ tal que para todo entero $n\ge 2$ y números reales $0<a_1\le a_2\le\ldots \le a_n$ , si $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}ka_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}$ , entonces siempre se tiene que $\sum_{k=1}^{n}a_{k}\le M\sum_{k=1}^{m}a_{k}$ donde $m=[cn]$

1 Sea $a$ un número real con $\sqrt{2}<a<2$ , y sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cíclico cuyo circuncentro $O$ está en su interior. La circunferencia circunscrita $\omega$ del cuadrilátero tiene radio $1$ , y los lados más largo y más corto del cuadrilátero tienen longitudes $a$ y $\sqrt{4-a^2}$ , respectivamente. Las rectas $L_A,L_B,L_C,L_D$ son tangentes a $\omega$ en $A,B,C,D$ , respectivamente. Sean las intersecciones de las rectas $L_A$ y $L_B$ , $L_B$ y $L_C$ , $L_C$ y $L_D$ , $L_D$ y $L_A$ los puntos $A',B',C',D'$ respectivamente. Determine el valor mínimo de $\frac{S_{A'B'C'D'}}{S_{ABCD}}$ .

2 Sea $X=\{1,2,\ldots,2001\}$ . Halle el entero positivo más pequeño $m$ tal que para cada subconjunto $W\subset X$ con $m$ elementos, existan $u,v\in W$ (no necesariamente distintos) tales que $u+v$ sea de la forma $2^{k}$ , donde $k$ es un entero positivo.

3 Sea $P$ un $n$ - ágono regular $A_1A_2\ldots A_n$ . Halle todos los enteros positivos $n$ tales que para cada permutación $\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (n)$ existen $1\le i,j,k\le n$ tales que los triángulos $A_{i}A_{j}A_{k}$ y $A_{\sigma (i)}A_{\sigma (j)}A_{\sigma (k)}$ son ambos acutángulos, ambos rectángulos o ambos obtusángulos.

3 Un club de tenis de mesa organiza una serie de partidos de dobles de acuerdo con las siguientes reglas: (i) cada jugador pertenece a lo sumo a dos parejas; (ii) cada dos parejas distintas juegan a lo sumo un partido entre sí; (iii) los jugadores de una misma pareja no juegan entre sí cuando se emparejan respectivamente con otros. Cada jugador juega un cierto número de partidos en esta serie. Todos estos números distintos forman un conjunto denominado el «conjunto de partidos». Considere un conjunto $A=\{a_1,a_2,\ldots ,a_k\}$ de enteros positivos tal que todo elemento de $A$ sea divisible por $6$ . Determine el número mínimo de jugadores necesarios para participar en esta serie de modo que exista un calendario para el cual el conjunto de partidos correspondiente sea igual al conjunto $A$ .

1 Dada una $n$ - tupla ordenada $A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ de números reales, donde $n\ge 2$ , definimos $b_k=\max{a_1,\ldots a_k}$ para cada k. Definimos $B=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$ como la «tupla innovada» de $A$ . El número de elementos distintos de $B$ se denomina el «grado innovado» de $A$ . Considere todas las permutaciones de $1,2,\ldots ,n$ como una $n$ - tupla ordenada. Halle la media aritmética del primer término de las permutaciones cuyos grados innovados son todos iguales a $2$ .

2 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que existen enteros $n_1,\ldots,n_k\ge 3$ , para algún entero $k$ , que satisfacen \[n=n_1n_2\cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)\cdots (n_k-1)}-1.\]

3 Una prueba contiene $5$ preguntas de opción múltiple, cada una con $4$ opciones. Suponga que cada examinado eligió una opción para cada pregunta. Existe un número $n$ tal que, para cualesquiera $n$ hojas entre $2000$ hojas de respuestas, hay $4$ hojas de respuestas tales que cualesquiera dos de ellas tienen a lo sumo $3$ preguntas con las mismas respuestas. Halle el valor mínimo de $n$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle C>\angle B$ . Sea $D$ un punto sobre $BC$ tal que $\angle ADB$ es obtuso, y sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABD$ . Suponga que $F$ es un punto interior del triángulo $ABC$ que está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ . Demuestre que $F$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ si y solo si $HD||CF$ y $H$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

2 Sea $a$ un número real. Sea $(f_n(x))_{n\ge 0}$ una sucesión de polinomios tal que $f_0(x)=1$ y $f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax)$ para todo entero no negativo $n$ . a) Demuestre que $f_n(x)=x^nf_n\left(x^{-1}\right)$ para todo entero no negativo $n$ . b) Halle una expresión explícita para $f_n(x)$ .