2 Sean $n, m, k$ y $l$ enteros positivos con $n \neq 1$ tales que $n^k + mn^l + 1$ divide a $n^{k+l} - 1$ . Demuestre que $m = 1$ y $l = 2k$ ; o bien $l|k$ y $m = \frac{n^{k-l}-1}{n^l-1}$ .

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables en el interior de este cuadrilátero de modo que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$ . Demuestre que las rectas $PQ$ obtenidas de esta manera pasan todas por un punto fijo , o bien son todas paralelas.

4 Sea $n$ un entero positivo. Determine el menor entero positivo $k$ con la siguiente propiedad: es posible marcar $k$ casillas en un tablero de $2n \times 2n$ de modo que exista una única partición del tablero en dominós de $1 \times 2$ y $2 \times 1$ , ninguno de los cuales contenga dos casillas marcadas.

1 Sea $n$ un entero positivo primo relativo con $6$ . Pintamos los vértices de un $n$ - gono regular con tres colores de modo que haya un número impar de vértices de cada color. Demuestre que existe un triángulo isósceles cuyos tres vértices son de colores distintos.

2 Sea $\tau(n)$ el número de divisores positivos de $n$ . Sea $\tau_1(n)$ el número de divisores positivos de $n$ que tienen resto $1$ al ser divididos por $3$ . Halle todos los valores enteros positivos de la fracción $\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ e incentro $I$ , y sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$ . Los puntos $D$ , $E$ , $F$ se eligen en los lados $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ de modo que $\overline{ID} \perp \overline{BC}$ , $\overline{IE}\perp \overline{AI}$ y $\overline{IF}\perp \overline{AI}$ . Suponga que la circunferencia circunscrita de $\triangle AEF$ interseca a $\Gamma$ en un punto $X$ distinto de $A$ . Demuestre que las rectas $XD$ y $AM$ se cortan sobre $\Gamma$ . Propuesto por Evan Chen, Taiwán

4 Halle todas las funciones $f:(0,\infty)\rightarrow (0,\infty)$ tales que para cualesquiera $x,y\in (0,\infty)$ , $$xf(x^2)f(f(y)) + f(yf(x)) = f(xy) \left(f(f(x^2)) + f(f(y^2))\right).$$

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . Sea $G$ el punto tal que el cuadrilátero $ABGH$ es un paralelogramo. Sea $I$ el punto de la recta $GH$ tal que $AC$ biseca a $HI$ . Suponga que la recta $AC$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $GCI$ en $C$ y $J$ . Demuestre que $IJ = AH$ .

2 Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $a! + b!$ divide a $a!b!$ . Demuestre que $3a \ge 2b + 2$ .

3 Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en el que se turnan para elegir enteros positivos $k \le n$ . Las reglas del juego son: (i) Un jugador no puede elegir un número que haya sido elegido por cualquiera de los dos jugadores en turnos anteriores. (ii) Un jugador no puede elegir un número consecutivo a cualquiera de los que el jugador ya haya elegido en turnos anteriores. (iii) El juego es un empate si todos los números han sido elegidos; en caso contrario, el jugador que ya no puede elegir ningún número pierde el juego. El jugador $A$ hace el primer turno. Determine el resultado del juego, suponiendo que ambos jugadores usan estrategias óptimas. Propuesto por Finlandia