8 El triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $\omega$ con $AB = 5$, $BC = 7$ y $AC = 3$. La bisectriz del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en $D$ y al círculo $\omega$ en un segundo punto $E$. Sea $\gamma$ el círculo con diámetro $DE$. Los círculos $\omega$ y $\gamma$ se cortan en $E$ y en un segundo punto $F$. Entonces $AF^2 = \frac mn$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halle $m + n$.

9 Considere la integral $Z(0)=\int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-x^2}= \sqrt{\pi}$. (a) Demuestre que la integral $Z(j)=\int^{\infty}_{-\infty} dx e^{-x^{2}+jx}$, donde $j$ no es una función de $x$, es $Z(j)=e^{j^{2}/4a} Z(0)$. (b) Demuestre que $$\dfrac 1 {Z(0)}=\int x^{2n} e^{-x^2}= \dfrac {(2n-1)!!}{2^n},$$ donde $(2n-1)!!$ se define como $(2n-1)(2n-3)\times\cdots\times3\times 1$. (c) ¿Cuál es el número de maneras de formar $n$ pares a partir de $2n$ objetos distintos? Interprete la parte anterior del problema en términos de esta respuesta.

1 BdMO National 2015 Secondary Problem 1. Se comete un crimen durante el hartal. Hay cuatro testigos. Los testigos son lógicos y hacen las siguientes afirmaciones: El testigo uno dijo que exactamente uno de los cuatro testigos es un mentiroso. El testigo dos dijo que exactamente dos de los cuatro testigos son mentirosos. El testigo tres dijo que exactamente tres de los cuatro testigos son mentirosos. El testigo cuatro dijo que exactamente cuatro de los cuatro testigos son mentirosos. Suponga que cada una de las afirmaciones es verdadera o falsa. ¿Cuántos de los testigos son mentirosos?

2 BdMO National Higher Secondary Problem 3 Sea $N$ el número de pares de enteros $(m,n)$ que satisfacen la ecuación $m^2+n^2=m^3$. ¿Es $N$ finito o infinito? Si $N$ es finito, ¿cuál es su valor?

3 Sea $n$ un entero positivo. Considere el polinomio $p(x)=x^2+x+1$. ¿Cuál es el residuo de $ x^3$ al dividirlo por $x^2+x+1$? ¿Para qué valores enteros positivos de $n$ es $ x^{2n}+x^n+1$ divisible por $p(x)$? Post no: $100$

4 Hay $36$ participantes en un evento de BdMO. Algunos de los participantes se dieron la mano entre sí. Pero ningún par de participantes se dio la mano más de una vez. Cada participante registró el número de apretones de mano que realizó. Se encontró que ningún par de participantes con el mismo número de apretones de mano se había dado la mano entre sí. Halle el número máximo posible de apretones de mano en la fiesta, con demostración. (Cuando dos participantes se dan la mano, esto se cuenta como un apretón de manos.)

5 Un tetraedro es un poliedro compuesto por cuatro caras triangulares. Las caras $ABC$ y $BCD$ de un tetraedro $ABCD$ se encuentran formando un ángulo de $\pi/6$. El área del triángulo $\triangle ABC$ es $120$. El área del triángulo $\triangle BCD$ es $80$, y $BC = 10$. ¿Cuál es el volumen del tetraedro? Llamamos al volumen de un tetraedro un tercio del área de su base multiplicada por su altura.

6 El trapecio $ABCD$ tiene lados $AB=92,BC=50,CD=19,AD=70$. $AB$ es paralelo a $CD$. Se dibuja un círculo con centro $P$ en $AB$ tangente a $BC$ y $AD$. Dado que $AP=\dfrac mn$ (donde $m,n$ son coprimos), ¿cuál es $m+n$?

7 En el triángulo $\triangle ABC$, los puntos $A', B', C'$ están en los lados $BC, AC, AB$ respectivamente. Además, $AA', BB', CC'$ se intersecan en el punto $O$ (son concurrentes en $O$). También, $\frac {AO}{OA'}+\frac {BO}{OB'}+\frac {CO}{OC'} = 92$. Halle el valor de $\frac {AO}{OA'}\times \frac {BO}{OB'}\times \frac {CO}{OC'}$.

3 ¿Existe un entero positivo $n$ tal que la suma de todos los dígitos del número $n(4n+1)$ sea igual a $2017$ ?