1 Si $a, b, c, d$ son números positivos que satisfacen $a^3 + b^3 +3ab = c + d = 1,$ demuestre que \[\left(a+\frac{1}{a}\right)^3+\left(b+\frac{1}{b}\right)^3+\left(c+\frac{1}{c}\right)^3+\left(d+\frac{1}{d}\right)^3\geq 40.\]

2 Halle todas las soluciones reales del sistema \[\begin{cases}x^2 + y^2 - z(x + y) = 2, \\ y^2 + z^2 - x(y + z) = 4, \\ z^2 + x^2 - y(z + x) = 8.\end{cases}\]

3 Se dan una circunferencia $\mathcal{C}$ con centro $K$ y radio $r,$ un punto $A$ sobre la circunferencia y un punto $R$ en su exterior. Considere una recta variable $e$ que pasa por $R$ e intersecta a la circunferencia en dos puntos $B$ y $C.$ Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC.$ Demuestre que existe un único punto $T$ en el plano de la circunferencia $\mathcal{C}$ tal que la suma $HA^2 + HT^2$ permanece constante (mientras $e$ varía.)

4 En el conjunto $\Sigma$ de puntos del plano $\Pi$ definimos la operación $*$ que asigna a cada par $(X, Y )$ de puntos de $\Sigma$ el punto $Z = X * Y$ que es simétrico de $X$ con respecto a $Y .$ Considere un cuadrado $ABCD$ en $\Pi$ . ¿Es posible, usando los puntos $A, B, C$ y aplicando la operación $*$ un número finito de veces, construir el punto $D?$

2 Un estudiante de la Universidad Técnica Nacional estuvo leyendo matemáticas avanzadas el verano pasado durante 37 días de acuerdo con las siguientes reglas: (a) Leía al menos una hora cada día. (b) Leía un número entero de horas, pero no más de 12, cada día. (c) Tenía que leer como máximo 60 horas en total. Demuestre que hubo algunos días sucesivos durante los cuales el estudiante leyó exactamente 13 horas en total.

3 En un triángulo $ABC$ tenemos $\angle C>10^0$ y $\angle B=\angle C+10^0.$ Consideramos el punto $E$ sobre el lado $AB$ tal que $\angle ACE=10^0,$ y el punto $D$ sobre el lado $AC$ tal que $\angle DBA=15^0.$ Sea $Z\neq A$ un punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $AEC.$ Demuestre que $\angle ZBA>\angle ZCA.$

4 (a) Los enteros positivos $p,q,r,a$ satisfacen $pq=ra^2$ , donde $r$ es primo y $p,q$ son primos relativos. Demuestre que uno de los números $p,q$ es un cuadrado perfecto. (b) Examine si existe un primo $p$ tal que $p(2^{p+1}-1)$ sea un cuadrado perfecto.

1 Un triángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de radio $R.$ Sean $BD$ y $CE$ las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$ respectivamente y sea la recta $DE$ la que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ en el punto $K.$ Sean $A_1, B_1, C_1$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $K$ a $BC, AC, AB,$ y $x, y$ las distancias desde $D$ y $E$ a $BC,$ respectivamente. (a) Exprese las longitudes de $KA_1, KB_1, KC_1$ en términos de $x, y$ y de la razón $l = KD/ED.$ (b) Demuestre que $\frac{1}{KB}=\frac{1}{KA}+\frac{1}{KC}.$

2 Demuestre que no existen enteros positivos $a,b$ tales que $(15a +b)(a +15b)$ sea una potencia de $3.$

3 Una función $f : \Bbb{N}_0 \to \Bbb{R}$ satisface $f(1) = 3$ y \[f(m + n) + f(m - n) - m + n - 1 =\frac{f(2m) + f(2n)}{2},\] para cualesquiera enteros no negativos $m$ y $n$ con $m \geq n.$ Halle todas las funciones $f$ de este tipo.