3.5 Halle todos los enteros positivos $a, b$ y $c$ tales que $$\text{lcm} \,(a, b) = \text{lcm} \,(a + c, b + c).$$

3.6 Determine todas las funciones $f : R \to R$ tales que $$f(xf(y) - yf(x)) = f(xy) - xy$$ se cumple para todos los números reales $x$ y $y$.

3.7 Sea $N$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, . . . , a_N$ enteros entre $2$ y $500$ inclusive. Suponga que para todo $k = 1, . . . ,N$ el número $a_1a_2..a_k + 1$ es un cuadrado perfecto. Demuestre que $N \le 10^{50}$.

3.8 Sea $n$ un entero positivo y sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales no negativos. Suponga que el coeficiente principal y el coeficiente constante de $ P$ son ambos iguales a $1$. Demuestre que si todas las raíces de $P$ son reales, entonces para todo $x \ge 0$ , $$P(x) \ge (x + 1)^n.$$

4,1 Sea $ABC$ un triángulo. Sean $D$ y $E$ dos puntos tales que $B, D, E$ y $C$ están sobre la misma recta en ese orden y $2DE = BC$ . Las rectas perpendiculares a $BC$ que pasan por $D$ y $E$ intersecan los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $X$ el punto del arco $PAQ$ tal que $XB = XC$ . Demuestre que los puntos medios de $XB$ , $XC$ y $PQ$ son colineales. (Dren Neziri)

4.2 Halle todos los enteros $a > 1$ para los cuales existen infinitos pares de enteros positivos primos relativos $(m, n)$ tales que $m | a^n- 1$ y $n | a^m - 1$.

4.3 Sea $d \ge 2$ un entero positivo. Defina la sucesión infinita $a_1, a_2,...$ mediante $a_1 = 1$ y $$a_{n+1} = a^d_n + 1$$ para todos los enteros positivos $n$ . Determine todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ tales que $a_x | a_y$.

Sean $a{}$ y $b{}$ enteros positivos. Demuestre que para cualquier número real $x{}$ \[\sum_{j=0}^a\binom{a}{j}\big(2\cos((2j-a)x)\big)^b=\sum_{j=0}^b\binom{b}{j}\big(2\cos((2j-b)x)\big)^a.\]

Escriba los números naturales de izquierda a derecha en orden ascendente. Cada minuto, realizamos una operación. Después de $m$ minutos, dividimos toda la serie disponible en bloques consecutivos de $m$ números. Dejamos el primer bloque sin cambios y en cada uno de los demás bloques movemos todos los números excepto el primero un lugar hacia la izquierda, y movemos el primero al final del bloque. Demuestre que a lo largo del proceso, cada número natural se moverá solo un número finito de veces.

2 Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. El círculo $o$ pasa por $I$ y es tangente a $BC$ en $C$. El rayo $BI$ corta a $o$ nuevamente en $D \neq I$. El rayo $BA$ corta a la circunferencia circunscrita de $ADI$ nuevamente en $E \neq A$, que queda fuera del segmento $AB$. Demuestra que la intersección de las rectas $DE$ y $AI$ está sobre $o$.