3 Considere un triángulo $ABC$ con circuncentro $O$ e incentro $I$. La circunferencia inscrita toca los lados $BC,CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$. $K$ es un punto tal que $KF$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $BFD$ y $KE$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $CED$. Demuestre que $BC,OI$ y $AK$ son concurrentes.

Las rectas \( FD \) y \( BE \) se intersecan en el punto \( O \). Desde el punto \( O \) se trazan los rayos \( OA \) y \( OC \). Se te da la siguiente información sobre los ángulos: \[ \angle DOC = 36^\circ, \quad \angle AOC = 90^\circ, \quad \angle AOB = 4x, \quad \angle FOE = 5x, \] como se muestra en la figura de abajo. ¿Cuál es la medida en grados de \( x \)? https://i.ibb.co/m5rwmXm/Kyiv-MO-2025-R1-7.png

1 Dado un número $k\in \mathbb{N}$. $\{a_{n}\}_{n\geq 0}$ y $\{b_{n}\}_{n\geq 0}$ son dos sucesiones de enteros positivos tales que $a_{i},b_{i}\in \{1,2,\cdots,9\}$. Para todo $n\geq 0$ $$\left.\overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}+k \ \middle| \ \overline{b_{n}\cdots b_{1}b_{0}}+k \right. .$$ Demuestre que existe un número $1\leq t \leq 9$ y un $N\in \mathbb{N}$ tales que $b_n=ta_n$ para todo $n\geq N$. (Observe que $(\overline{x_nx_{n-1}\dots x_0}) = 10^n\times x_n + \dots + 10\times x_1 + x_0$ )

2 Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $m>n$, existen infinitos enteros positivos $a,b$ tales que el conjunto de divisores primos de $a^m+b^n$ es igual al conjunto de divisores primos de $a^{2019}+b^{1398}$.

3 Sea $S$ un conjunto infinito de enteros positivos y defina: $T=\{ x+y|x,y \in S , x \neq y \} $. Suponga que solo hay finitos primos $p$ tales que: 1. $p \equiv 1 \pmod 4$ 2. Existe un entero positivo $s$ tal que $p|s,s \in T$. Demuestre que hay infinitos primos que dividen al menos un término de $S$.

1 Sean $A_1,A_2, \dots A_k$ puntos sobre la circunferencia unitaria. Demuestre que: $\sum\limits_{1\le i<j \le k} d(A_i,A_j)^2 \le k^2 $, donde $d(A_i,A_j)$ denota la distancia entre $A_i,A_j$.

2 $P(x)$ es un polinomio mónico con coeficientes enteros tal que existen polinomios mónicos con coeficientes enteros $p_1(x),p_2(x),\dots ,p_n(x)$ tales que para cualquier número natural $x$ existen un índice $j$ y un número natural $y$ tales que $p_j(y)=P(x)$ y además $deg(p_j) \ge deg(P)$ para todo $j$. Demuestre que existen un índice $i$ y un entero $k$ tales que $P(x)=p_i(x+k)$.

3 Sean $a,b,c$ números reales distintos de cero y distintos entre sí tales que existen funciones $f,g:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}$ tales que: $af(xy)+bf(\frac{x}{y})=cf(x)+g(y)$ para todo real positivo $x$ y para $y$ suficientemente grande. Demuestre que existe una función $h:\mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}$ tal que: $f(xy)+f(\frac{x}{y})=2f(x)+h(y)$ para todo real positivo $x$ y para $y$ suficientemente grande.

1 Un oso está en el centro de la esquina inferior izquierda de un cuadrado de $100*100$. Llamamos ciclo de oso a un ciclo en esta cuadrícula si visita cada casilla exactamente una vez y regresa al lugar donde comenzó. Eliminar una fila o columna descompone el ciclo de oso en un número de caminos. Halle el mínimo $k$ tal que en cualquier ciclo de oso podamos eliminar una fila o columna de modo que la longitud máxima de los caminos restantes sea a lo sumo $k$.

2 Sea $T$ una triangulación de un $100$-ágono. Construimos $P(T)$ copiando el mismo $100$-ágono y dibujando una diagonal si no fue dibujada en $T$ y existe un cuadrilátero con esta diagonal y otros dos vértices tal que todos los lados y diagonales (excepto la que vamos a dibujar) están presentes en $T$. Sea $f(T)$ el número de intersecciones de diagonales en $P(T)$. Halle el mínimo y el máximo de $f(T)$.