4 Una baraja de $ 32$ cartas tiene $ 2$ comodines diferentes, cada uno numerado con $ 0$ . Hay $ 10$ cartas rojas numeradas de $ 1$ a $ 10$ y lo mismo para las cartas azules y verdes. Uno elige un número de cartas de la baraja. Si una carta en la mano está numerada con $ k$ , entonces el valor de la carta es $ 2^k$ , y el valor de la mano es la suma de los valores de las cartas en la mano. Determine el número de manos que tienen el valor $ 2004$ .

5 Sean $ u, v, w$ números reales positivos tales que $ u\sqrt {vw} + v\sqrt {wu} + w\sqrt {uv} \geq 1$ . Halle el menor valor de $ u + v + w$ .

4 $22$ matemáticos se reúnen. Cada matemático tiene al menos $3$ amigos (la amistad es mutua). Y cada matemático puede transmitir su información a cualquier matemático mediante la transferencia entre amigos. ¿Es posible dividir a estos $22$ matemáticos en grupos de $2$ personas (es decir, dos personas en cada grupo, un total de $11$ grupos), de modo que los matemáticos de cada grupo sean amigos? redacción original en chino 仃22位数学家一起开会.每位数学家都至少有3个朋友(朋友是相互的).而且每 位数学家都可以通过朋友之间的传递.将门已的资料传给任意一位数学家.问：是否一定可 以将这22位数学家两两分组(即每组两人,共11组),使得每组的数学家都是朋友？

La función $f(x)=x^2+ \sin x$ y la sucesión de números positivos $\{ a_n \}$ satisfacen $a_1=1$ , $f(a_n)=a_{n-1}$ , donde $n \geq 2$ . Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que $a_1+a_2+ \dots + a_n > 2020$ .

En $\triangle ABC$ , $AB>AC$ . Sean $O$ e $I$ el circuncentro y el incentro respectivamente. Demuestre que si $\angle AIO = 30^{\circ}$ , entonces $\angle ABC = 60^{\circ}$ .

Un conjunto de $k$ enteros se dice que es un sistema completo de residuos módulo $k$ si no hay dos de sus elementos congruentes módulo $k$ . Halle todos los enteros positivos $m$ para los cuales existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $\{ 1^n,2^n, \dots , m^n \}$ es un sistema completo de residuos módulo $m$ .

Un entero positivo $m$ se llama entero hermoso si existe un entero positivo $n$ tal que $m = n^2 + n + 1$. Demuestra que hay infinitos enteros hermosos con factores cuadrados, y que los factores cuadrados de distintos enteros hermosos son primos relativos.

4 En cada casilla de una cuadrícula de $4$ por $4$ , se coloca un $+1$ o un $-1$ . Si se eliminan cualesquiera 2 filas y 2 columnas, la suma de los 4 números restantes es no negativa. ¿Cuál es el número mínimo de $+1$ 's que se necesitan colocar para poder satisfacer las condiciones?

Dos estudiantes $A$ y $B$ juegan un juego en un tablero de ajedrez de $20 \text{ x } 20$ . Se sabe que se dice que dos casillas son adyacentes si las dos casillas tienen un lado en común. Al principio, hay una pieza de ajedrez en cierta casilla del tablero. Dado que $A$ será el primero en mover la pieza, $A$ y $B$ moverán alternadamente esta pieza a una casilla adyacente. Además, el lado común de cualquier par de casillas adyacentes solo puede ser cruzado una vez. Si el oponente no puede moverse más, entonces será declarado ganador (para aclarar, ya que la redacción no era muy buena, se pierde si no puedes moverte). ¿Quién de $A$ y $B$ tiene una estrategia ganadora? Justifique su afirmación.

Halle todos los enteros positivos $a$ tales que para cualquier número de $\left \lfloor \frac{a+1}{2} \right \rfloor$ dígitos compuesto únicamente por los dígitos $0$ y $2$ (donde $0$ no puede ser el primer dígito) no sea un múltiplo de $a$ .