7 Si $a$ , $b$ , $c$ son reales positivos, demuestre que $$\frac{a+bc}{a+a^2}+\frac{b+ca}{b+b^2}+\frac{c+ab}{c+c^2} \geq 3$$

8 2 jugadores A y B juegan el siguiente juego, comenzando A: En el turno de cada jugador, coloca un número del 1 al 99 entre 99 puntos igualmente espaciados sobre una circunferencia (los números no pueden repetirse), y el jugador que completa 3 números consecutivos que forman una progresión aritmética alrededor de la circunferencia gana el juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora? Explique su razonamiento.

1 Igual que el Problema de Grado 10

2 Sea $p$ un primo. Decimos que $p$ es bueno si y solo si para cualesquiera enteros positivos $a,b,$ se cumple que $$a\equiv b (\textup{mod}p)\Leftrightarrow a^3\equiv b^3 (\textup{mod}p).$$ Demuestre que (1) existen infinitos primos $p$ que son buenos; (2) existen infinitos primos $p$ que no son buenos.

3 $A,B,C,D,E$ están sobre $\odot O$ en ese orden, y $$BD \cap CE=F,CE \cap AD=G,AD \cap BE=H,BE \cap AC=I,AC \cap BD=J.$$ Demuestre que $\frac{FG}{CE}=\frac{GH}{DA}=\frac{HI}{BE}=\frac{IJ}{AC}=\frac{JF}{BD}$ si y solo si $F,G,H,I,J$ son concíclicos.

48 Considera 2 circunferencias concéntricas de radios \( R \) y \( r \) ( \( R > r \) ) con centro \( O.\) Fija \( P \) en la circunferencia pequeña y considera la cuerda variable \( PA \) de la circunferencia pequeña. Los puntos \( B \) y \( C \) están en la circunferencia grande; \( B,P,C \) son colineales y \( BC \) es perpendicular a \( AP.\) i.) ¿Para qué valores de \( \angle OPA \) es extremal la suma \( BC^2 + CA^2 + AB^2\)? ii.) ¿Cuáles son las posiciones posibles de los puntos medios \( U \) de \( BA \) y \( V \) de \( AC \) cuando \( \angle OPA \) varía?

4 Para $n(n\geq3)$ enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ . Coloque los números sobre una circunferencia. En cada operación, calcule la diferencia entre dos números adyacentes y tome su valor absoluto. Coloque los $n$ números obtenidos en otra circunferencia (sin cambiar su orden). Halle todos los $n$ tales que, sin importar cómo se den $a_1,a_2,\cdots,a_n$ , todos los números de la circunferencia sean iguales después de un número finito de operaciones.

5 Igual que el Problema de Grado 10

6 Para $a_1 = 3$ , defina la sucesión $a_1, a_2, a_3, \ldots$ para $n \geq 1$ como $$na_{n+1}=2(n+1)a_n-n-2.$$ Demuestre que para cualquier primo impar $p$ existen enteros positivos $m,$ tales que $p|a_m$ y $p|a_{m+1}.$

7 Igual que el Problema de Grado 10