88 Demuestre que la sucesión $ (a_n)_{n \geq 0,}, a_n = [n \cdot \sqrt{2}],$ contiene una cantidad infinita de cuadrados perfectos.

85 Considérese un $ (2n +1)-$ g on regular inscrito en un círculo de radio $ r.$ Consideramos todos los triángulos cuyos vértices provienen de los vértices del $ (2n + 1)-$ g on regular. (a) ¿Cuántos de esos triángulos contienen el centro del círculo en su interior? (b) Halle la suma de las áreas de todos aquellos triángulos que contienen el centro del círculo en su interior.

92 Demuestre que $ a < b$ implica que $ a^3 - 3a \leq b^3 - 3b + 4.$ ¿Cuándo se da la igualdad?

93 Demuestre que para cada entero positivo $ n$ existen $ n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

94 Sean dados $ a_1 \geq a_2 \geq a_3 \in \mathbb{Z}^+$ y sea N $ (a_1, a_2, a_3)$ el número de soluciones $ (x_1, x_2, x_3)$ de la ecuación \[ \sum^3_{k=1} \frac{a_k}{x_k} = 1.\] donde $ x_1, x_2,$ y $ x_3$ son enteros positivos. Demuestre que \[ N(a_1, a_2, a_3) \leq 6 a_1 a_2 (3 + ln(2 a_1)).\]

95 Sea $ n$ un entero positivo, $ X = \{1, 2, \ldots , n\},$ y $ k$ un entero positivo tal que $ \frac{n}{2} \leq k \leq n.$ Determine, con demostración, el número de todas las funciones $ f : X \mapsto X$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $ f^2 = f;$ (ii) el número de elementos de la imagen de $ f$ es $ k;$ (iii) para cada $ y$ en la imagen de $ f,$ el número de todos los puntos $ x \in X$ tales que $ f(x)=y$ es a lo sumo $ 2.$

96 Sea $ f : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tal que (i) $ f$ es estrictamente creciente; (ii) $ f(mn) = f(m)f(n) \quad \forall m, n \in \mathbb{N};$ y (iii) si $ m \neq n$ y $ m^n = n^m,$ entonces $ f(m) = n$ o $ f(n) = m.$ Determine $ f(30).$

97 Una función aritmética es una función de valores reales cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Definamos el producto de convolución de dos funciones aritméticas $ f$ y $ g$ como la función aritmética $ f * g$ , donde \[ (f * g)(n) = \sum_{ij=n} f(i) \cdot g(j),\] y $ f^{*k} = f * f * \ldots * f$ ( $ k$ veces). Decimos que dos funciones aritméticas $ f$ y $ g$ son dependientes si existe un polinomio no trivial de dos variables $ P(x, y) = \sum_{i,j} a_{ij} x^i y^j$ con coeficientes reales tal que \[ P(f,g) = \sum_{i,j} a_{ij} f^{*i} * g^{*j} = 0,\] y decimos que son independientes si no son dependientes. Sean $ p$ y $ q$ dos primos distintos y definamos \[ f_1(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n = p, \\ 0 & \text{ otherwise}. \end{cases}\] \[ f_2(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n = q, \\ 0 & \text{ otherwise}. \end{cases}\] Demuestre que $ f_1$ y $ f_2$ son independientes.

99 Sea $ ABC$ un triángulo equilátero y $ \Gamma$ el semicírculo trazado exteriormente al triángulo, teniendo a $ BC$ como diámetro. Demuestre que si una recta que pasa por $ A$ triseca a $ BC,$ también triseca al arco $ \Gamma.$

1 Si en un cuadrilátero convexo $ ABCD, E$ y $ F$ son los puntos medios de los lados $ BC$ y $ DA$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los triángulos $ EDA$ y $ FBC$ es igual al área del cuadrilátero.