G1 Sea $ABCD$ un cuadrado de centro $O$ y sea $M$ el simétrico del punto $B$ con respecto al punto $A$. Sea $E$ la intersección de $CM$ y $BD$, y sea $S$ la intersección de $MO$ y $AE$. Demuestra que $SO$ es la bisectriz del ángulo $\angle ESB$.

Sea un triángulo $\triangle ABC$ con $m(\angle ABC) = 75^{\circ}$ y $m(\angle ACB) = 45^{\circ}$. La bisectriz del ángulo $\angle CAB$ interseca a $CB$ en el punto $D$. Consideramos el punto $E \in (AB)$, tal que $DE = DC$. Sea $P$ la intersección de las rectas $AD$ y $CE$. Demuestra que $P$ es el punto medio del segmento $AD$.

G3 Sea $ABC$ un triángulo escaleno y acutángulo con circuncentro $O$. Sea $\omega$ la circunferencia con centro $A$, tangente a $BC$ en $D$. Supón que hay dos puntos $F$ y $G$ en $\omega$ tales que $FG \perp AO$, $\angle BFD = \angle DGC$ y los pares de puntos $(B,F)$ y $(C,G)$ están en semiplanos distintos respecto a la recta $AD$. Muestra que las tangentes a $\omega$ en $F$ y $G$ se cortan sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$.

G4 Dado un triángulo acutángulo $ABC$, sea $M$ el punto medio de $BC$ y $H$ el ortocentro. Sea $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $HM$, y sean $X,Y$ puntos distintos en $\Gamma$ tales que $AX,AY$ son tangentes a $\Gamma$. Demuestra que $BXYC$ es cíclico.

G5 Sea $ABC$ ( $BC > AC$ ) un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $k$ centrada en $O$ . La tangente a $k$ en $C$ interseca a la recta $AB$ en el punto $D$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BCD, OCD$ y $AOB$ intersecan al rayo $CA$ (más allá de $A$ ) en los puntos $Q, P$ y $K$ , respectivamente, de modo que $P \in (AK)$ y $K \in (PQ)$ . La recta $PD$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo $BKQ$ en el punto $T$ , de manera que $P$ y $T$ están en semiplanos distintos respecto a $BQ$ . Demuestra que $TB = TQ$ .

G6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo. Sean $X$ y $Y$ dos puntos interiores distintos del segmento $BC$ tales que $\angle{CAX} = \angle{YAB}$. Supón que: $1)$ $K$ y $S$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $B$ a las rectas $AX$ y $AY$, respectivamente. $2)$ $T$ y $L$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $C$ a las rectas $AX$ y $AY$, respectivamente. Demuestra que $KL$ y $ST$ se intersecan en la recta $BC$.

Sea $AD, BE$ y $CF$ las alturas del triángulo $\vartriangle ABC$. Los puntos $E'$ y $F'$ son las reflexiones de $E$ y $F$ respecto a $AD$, respectivamente. Las rectas $BF'$ y $CE'$ se cortan en $X$, mientras que las rectas $BE'$ y $CF'$ se cortan en el punto $Y$. Demuestra que si $H$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$, entonces las rectas $AX$, $YH$ y $BC$ son concurrentes.

G8 Dado un triángulo acutángulo \(ABC\), \((c)\) su circunferencia circunscrita con centro \(O\) y \(H\) el ortocentro del triángulo \(ABC\). La recta \(AO\) interseca a \((c)\) en el punto \(D\). Sean \(D_1, D_2\) y \(H_2, H_3\) los puntos simétricos de los puntos \(D\) y \(H\) con respecto a las rectas \(AB, AC\), respectivamente. Sea \((c_1)\) la circunferencia circunscrita del triángulo \(AD_1D_2\). Supón que la recta \(AH\) interseca de nuevo a \((c_1)\) en el punto \(U\), la recta \(H_2H_3\) interseca al segmento \(D_1D_2\) en el punto \(K_1\) y la recta \(DH_3\) interseca al segmento \(UD_2\) en el punto \(L_1\). Demuestra que uno de los puntos de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos \(D_1K_1H_2\) y \(UDL_1\) se encuentra sobre la recta \(K_1L_1\).

G9 Dado un semicírculo $(c)$ con diámetro $AB$ y centro $O$. Sobre $(c)$ tomamos un punto $C$ tal que la tangente en $C$ corta a la recta $AB$ en el punto $E$. La recta perpendicular desde $C$ a $AB$ corta al diámetro $AB$ en el punto $D$. Sobre $(c)$ obtenemos los puntos $H, Z$ tales que $CD = CH = CZ$. La recta $HZ$ corta a las rectas $CO, CD, AB$ en los puntos $S, I, K$ respectivamente, y la recta paralela desde $I$ a la recta $AB$ corta a las rectas $CO, CK$ en los puntos $L, M$ respectivamente. Consideramos la circunferencia circunscrita $(k)$ del triángulo $LMD$, que corta de nuevo a las rectas $AB, CK$ en los puntos $P, U$ respectivamente. Sean $(e_1), (e_2), (e_3)$ las tangentes a $(k)$ en los puntos $L, M, P$ respectivamente, y $R = (e_1) \cap (e_2)$, $X = (e_2) \cap (e_3)$, $T = (e_1) \cap (e_3)$. Demuestra que si $Q$ es el centro de $(k)$, entonces las rectas $RD, TU, XS$ pasan por el mismo punto, el cual se encuentra en la recta $IQ$.

N1 Sea $\mathbb{P}$ el conjunto de todos los números primos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{P}\rightarrow\mathbb{P}$ tales que: $$f(p)^{f(q)}+q^p=f(q)^{f(p)}+p^q$$ se cumple para todos $p,q\in\mathbb{P}$. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania