1 Una sucesión de números reales $ \{a_{n}\}$ se define por $ a_{0}\neq 0,1$ , $ a_1=1-a_0$ , $ a_{n+1}=1-a_n(1-a_n)$ , $ n=1,2,...$ . Demuestre que para cualquier entero positivo $ n$ , tenemos $ a_{0}a_{1}...a_{n}(\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n})=1$

3 Demuestra que \[\left(a+2b+\dfrac{2}{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac{2}{b+1}\right)\geq 16\] para todos los números reales positivos $a$ y $b$ tales que $ab\geq 1$.

54 Sean $p, q$ y $r$ tres rectas en el espacio tales que no existe ningún plano paralelo a las tres a la vez. Demuestre que existen tres planos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ , que contienen a $p, q$ y $r$ respectivamente, que son perpendiculares entre sí $(\alpha\perp\beta, \beta\perp\gamma, \gamma\perp \alpha).$

2 En el triángulo $ ABC$ , $ AB=AC$ , la circunferencia inscrita $ I$ toca a $ BC, CA, AB$ en los puntos $ D,E$ y $ F$ respectivamente. $ P$ es un punto sobre el arco $ EF$ opuesto a $ D$ . La recta $ BP$ interseca a la circunferencia $ I$ en otro punto $ Q$ ; las rectas $ EP$ , $ EQ$ cortan a la recta $ BC$ en $ M, N$ respectivamente. Demuestre que (1) $ P, F, B, M$ son concíclicos (2 ) $ \frac{EM}{EN} = \frac{BD}{BP}$ (P.D. ¿Puede alguien ayudarme con el uso de GeoGebra? La función de circunferencia inscrita del complemento no funciona en mi computadora.)

3 Dado un entero $ m\geq$ 2, y m enteros positivos $ a_1,a_2,...a_m$ . Demuestre que existen infinitos enteros positivos n, tales que $ a_{1}1^{n} + a_{2}2^{n} + ... + a_{m}m^{n}$ es compuesto.

4 Dados un entero $ m\geq 2$ , y dos números reales $ a,b$ con $ a > 0$ y $ b\neq 0$ . La sucesión $ \{x_n\}$ es tal que $ x_1 = b$ y $ x_{n + 1} = ax^{m}_{n} + b$ , $ n = 1,2,...$ . Demuestre que (1) cuando $ b < 0$ y m es par, la sucesión es acotada si y solo si $ ab^{m - 1}\geq - 2$ ; (2) cuando $ b < 0$ y m es impar, o cuando $ b > 0$ , la sucesión es acotada si y solo si $ ab^{m - 1}\geq\frac {(m - 1)^{m - 1}}{m^m}$ .

1 Cuatro ranas están ubicadas en cuatro puntos de una línea recta de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos vecinos es 1 unidad de longitud. Suponga que cada rana puede saltar a su punto correspondiente de reflexión, tomando cualquiera de las otras 3 ranas como punto de referencia. Demuestre que no existe ningún caso en el que las distancias entre cualesquiera dos puntos vecinos, donde se encuentran las ranas, sean todas iguales a 2008 unidades de longitud.

2 Dados $ x,y,z\in (0,1)$ que satisfacen $ \sqrt{\frac{1 - x}{yz}} + \sqrt{\frac{1 - y}{xz}} + \sqrt{\frac{1 - z}{xy}} = 2$ . Halle el valor máximo de $ xyz$ .

3 Para un entero positivo dado $n$ , halle el mayor entero positivo $k$ , tal que existan tres conjuntos de $k$ enteros no negativos distintos, $A=\{x_1,x_2,\cdots,x_k\}, B=\{y_1,y_2,\cdots,y_k\}$ y $C=\{z_1,z_2,\cdots,z_k\}$ con $ x_j+y_j+z_j=n$ para todo $ 1\leq j\leq k$ . [Edición del moderador: LaTeXificado]

4 Sea P un punto interior de un n-gon regular $ A_1 A_2 ...A_n$ ; las rectas $ A_i P$ cortan al n-gon regular en otro punto $ B_i$ , donde $ i=1,2,...,n$ . Demuestre que la suma de todos los $ PA_i\geq$ la suma de todos los $ PB_i$ .