63 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $P$, $Q$, $R$ tres puntos en el interior de los lados $BC$, $CA$, $AB$ de este triángulo. Demuestra que el área de al menos uno de los tres triángulos $AQR$, $BRP$, $CPQ$ es menor o igual que un cuarto del área del triángulo $ABC$. Formulación alternativa: Sea $ABC$ un triángulo, y sean $P$, $Q$, $R$ tres puntos en los segmentos $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Demuestra que $\min\left\{\left|AQR\right|,\left|BRP\right|,\left|CPQ\right|\right\}\leq\frac14\cdot\left|ABC\right|$, donde la abreviatura $\left|P_1P_2P_3\right|$ denota el área (no dirigida) de un triángulo arbitrario $P_1P_2P_3$.

1 $(BEL 1)$ Se da una parábola $P_1$ con ecuación $x^2 - 2py = 0$ y una parábola $P_2$ con ecuación $x^2 + 2py = 0$, con $p > 0$. Una recta $t$ es tangente a $P_2$. Encuentra el lugar geométrico del polo $M$ de la recta $t$ con respecto a $P_1$.

Resuelve en enteros $20^x+13^y=2013^z$ .

2 $(BEL 2) (a)$ Encuentra las ecuaciones de las hipérbolas regulares que pasan por los puntos $A(\alpha, 0), B(\beta, 0)$ y $C(0, \gamma).$ $(b)$ Demuestra que todas esas hipérbolas pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC.$ $(c)$ Encuentra el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas. $(d)$ Verifica si este lugar geométrico coincide con la circunferencia de los nueve puntos del triángulo $ABC.$

3 $(BEL 3)$ Construye la circunferencia que es tangente a tres circunferencias dadas.

4 $(BEL 4)$ Sea $O$ un punto sobre una cónica no degenerada. Un ángulo recto con vértice $O$ corta a la cónica en los puntos $A$ y $B$. Demuestra que la recta $AB$ pasa por un punto fijo situado sobre la normal a la cónica que pasa por el punto $O$.

5 $(BEL 5)$ Sea $G$ el baricentro del triángulo $OAB.$ $(a)$ Demuestra que todas las cónicas que pasan por los puntos $O,A,B,G$ son hipérbolas. $(b)$ Encuentra el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas.

6 $(BEL 6)$ Evalúa $\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)^{10}$ de dos maneras distintas y demuestra que $\dbinom{10}{1}-\dbinom{10}{3}+\frac{1}{2}\dbinom{10}{5}=2^4$

7 (BUL 1) Demuestra que la ecuación $\sqrt{x^3 + y^3 + z^3}=1969$ no tiene soluciones enteras.

1 Tick, Trick y Track tienen 20, 23 y 25 boletos respectivamente para el carrusel de la feria de Duckburg. Acuerdan que solo montarán los tres juntos, para lo cual cada uno debe ceder uno de sus boletos. Además, antes de un paseo, si lo desean, pueden redistribuir los boletos entre ellos tantas veces como quieran según la siguiente regla: Si uno tiene un número par de boletos, puede dar la mitad de sus boletos a cualquiera de los otros dos. ¿Puede ocurrir que después de algún paseo: (a) exactamente uno no tenga ningún boleto, (b) exactamente dos no tengan ningún boleto, (c) todos los boletos hayan sido entregados?