8 Considere la función $f : N \to N$ dada por (i) $f(1) = 1$ , (ii) $f(2n) = f(n)$ para cualquier $n \in N$ , (iii) $f(2n+1) = f(2n)+1$ para cualquier $n \in N$ . (a) Halle el valor máximo de $f(n)$ para $1 \le n \le 1995$ ; (b) Halle todos los valores de $f$ en este intervalo.

5 La sucesión \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) es una permutación de los números \(1,2,\ldots,n\) . Determine para qué enteros positivos \(n\) es posible que los \(n+1\) números $$0,\,a_1,\,a_1+a_2,\,a_1+a_2+a_3,\,\ldots,\,a_1+a_2+\cdots+a_n$$ tengan todos restos distintos al dividirlos por \(n+1\) .

6 Un tablero \(7\times 7\) está lleno con los números \(1\) al \(49\) , como se muestra en la figura. En un movimiento, se elige una casilla y su número se incrementa (o disminuye) en \(1\) , mientras que los números en dos casillas adyacentes a ella se disminuyen (respectivamente, se incrementan) en \(1\) . Dos casillas se consideran adyacentes si comparten un lado. \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ \hline 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 \\ \hline 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 \\ \hline 29 & 30 & 31 & 32 & 33 & 34 & 35 \\ \hline 36 & 37 & 38 & 39 & 40 & 41 & 42 \\ \hline 43 & 44 & 45 & 46 & 47 & 48 & 49 \\ \hline \end{array} \] Determine si es posible, después de un número finito de movimientos, obtener un tablero en el que todos los números sean iguales. Determine si es posible, después de un número finito de movimientos, obtener un tablero en el que todos los números sean iguales a \(1007\) .

4 Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros positivos. Usted puede hacer la pregunta: ¿Cuánto vale $p(n)$ para cualquier entero positivo $n$ ? ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que hay que hacer para determinar $p(x)$ por completo? Justifique

1–10 1. Sea $A(t)$ el área acotada por la curva $y = e^{-|x|}$ , el eje $X-$ y las rectas $x = -t, x = t$ , entonces $\lim_{t \to \infty} A(t)$ es $\textbf{(A)}\; 2 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; 1/2 \quad \textbf{(D)}\; e.$ 2. ¿Cuántas ternas de números reales $(x, y, z)$ son soluciones comunes de las ecuaciones $x + y = 2, \quad xy - z^2 = 1?$ $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; 2 \quad \textbf{(D)}\; \text{infinitely many.}$ 3. Para enteros no negativos $x, y$ la función $f(x, y)$ satisface las relaciones $f(x, 0) = x$ y $f(x, y + 1) = f(f(x, y), y)$ . Entonces, ¿cuál de las siguientes es la mayor? $\textbf{(A)}\; f(10, 15) \quad \textbf{(B)}\; f(12, 13) \quad \textbf{(C)}\; f(13, 12) \quad \textbf{(D)}\; f(14, 11).$ 4. Suponga que $p, q, r, s$ son $1, 2, 3, 4$ en algún orden. Sea $x = \cfrac{1}{p + \cfrac{1}{q + \cfrac{1}{r + \cfrac{1}{s}}}}$ Elegimos $p, q, r, s$ de modo que $x$ sea lo más grande posible; entonces $s$ es $\textbf{(A)}\; 1 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; 3 \quad \textbf{(D)}\; 4.$ 5. Sea $f(x) = \begin{cases} 3x + x^2 & \text{if } x < 0 \\ x^3 + x^2 & \text{if } x \ge 0. \end{cases}$ Entonces $f''(0)$ es $\textbf{(A)}\; 0 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; 3 \quad \textbf{(D)}\; \text{None of these.}$ 6. Hay 8 equipos en la liga pro-kabaddi. Cada equipo juega contra cada uno de los demás exactamente una vez. Suponga que cada partido termina en victoria, es decir, no hay empates. Sean $w_1, w_2, \dots, w_8$ el número de victorias y $l_1, l_2, \dots, l_8$ el número de derrotas de los equipos $T_1, T_2, \dots, T_8$ ; entonces $\textbf{(A)}\; w_1^2 + \dots + w_8^2 = 49 + (l_1^2 + \dots + l_8^2).$ $\textbf{(B)}\; w_1^2 + \dots + w_8^2 = l_1^2 + \dots + l_8^2.$ $\textbf{(C)}\; w_1^2 + \dots + w_8^2 = 49 - (l_1^2 + \dots + l_8^2).$ $\textbf{(D)}\; \text{None of these.}$ 7. El resto cuando $m + n$ se divide entre 12 es 8, y el resto cuando $m - n$ se divide entre 12 es 6. Si $m > n$ , entonces el resto cuando $mn$ se divide entre 6 es $\textbf{(A)}\; 1 \quad \textbf{(B)}\; 2 \quad \textbf{(C)}\; 3 \quad \textbf{(D)}\; 4.$ 8. Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ n + 1 & n + 2 & \dots & 2n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (n - 1)n + 1 & (n - 1)n + 2 & \dots & n^2 \end{pmatrix}$ . Seleccione cualquier entrada y llámela $x_1$ . Elimine la fila y la columna que contienen a $x_1$ para obtener una matriz de $(n - 1) \times (n - 1)$ . Luego seleccione cualquier entrada de las restantes y llámela $x_2$ . Elimine la fila y la columna que contienen a $x_2$ para obtener una matriz de $(n - 2) \times (n - 2)$ . Realice $n$ pasos de este tipo. Entonces $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ es $\textbf{(A)}\; n \quad \textbf{(B)}\; \dfrac{n(n + 1)}{2} \quad \textbf{(C)}\; \dfrac{n(n^2 + 1)}{2} \quad \textbf{(D)}\; \text{None of these.}$ 9. El máximo de las áreas de los rectángulos inscritos en la región acotada por la curva $y = 3 - x^2$ y el eje $X-$ es $\textbf{(A)}\; 4 \quad \textbf{(B)}\; 1 \quad \textbf{(C)}\; 3 \quad \textbf{(D)}\; 2.$ 10. ¿Cuántos divisores de $2^5 3^6 5^2$ son cuadrados perfectos? $\textbf{(A)}\; 24 \quad \textbf{(B)}\; 20 \quad \textbf{(C)}\; 30 \quad \textbf{(D)}\; 36.$

1 ¿Cuántos $15$ palíndromos de cifras hay en cada uno de los cuales el producto de las cifras no nulas es $36$ y la suma de las cifras es igual a $15$ ? (Una cadena de cifras se llama palíndromo si se lee igual de adelante hacia atrás y de atrás hacia adelante. Por ejemplo $04340$ , $6411146$ . )

2 Sea H un conjunto finito de enteros positivos distintos, ninguno de los cuales tiene un factor primo mayor que 3. Demuestre que la suma de los recíprocos de los elementos de H es menor que 3. Halle dos conjuntos diferentes de este tipo cuya suma de recíprocos sea igual a 2.5.

3 Sea $A$ una matriz de $n \times n$ con entradas reales tal que la suma de cada fila es igual a $1$ . Halle la suma de todas las entradas de $A^{2015}$ .

10 Sea $ABC$ un triángulo con baricentro $G$ y circuncentro $O.$ Suponga que el ortocentro del triángulo $AGO$ está en la recta $BC.$ Dado que $AB=11$ y $AC=13,$ calcule $BC.$

4 Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $f(0) = 0$ , $f'(x) > f(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . Demuestre que $f(x) > 0$ para todo $x > 0$ .