50 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que la recta $CD$ es tangente al círculo de diámetro $AB$ . Demuestre que la recta $AB$ es tangente al círculo de diámetro $CD$ si y solo si las rectas $BC$ y $AD$ son paralelas.

51 Dos ciclistas parten simultáneamente de un punto $P$ en una pista circular con velocidades constantes $v_1, v_2 (v_1 > v_2)$ y en el mismo sentido. Un peatón parte de $P$ al mismo tiempo, moviéndose con velocidad $v_3 = \frac{v_1+v_2}{12}$ . Si el peatón y los ciclistas se mueven en direcciones opuestas, el peatón se encuentra con el segundo ciclista $91$ segundos después de encontrarse con el primero. Si el peatón se mueve en el mismo sentido que los ciclistas, el primer ciclista lo adelanta $187$ segundos antes de que lo haga el segundo. Halle el punto donde el primer ciclista adelanta al segundo ciclista por primera vez.

25 Considérese el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el cual todo coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$ Demuestre que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ del sistema con las propiedades: a.) todos los $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

26 Una caja con forma de paralelepípedo puede llenarse completamente con cubos de lado $1.$ Si ponemos en ella el número máximo posible de cubos, cada uno de volumen $2$ , con los lados paralelos a los de la caja, entonces exactamente el $40$ por ciento del volumen de la caja queda ocupado. Determine las dimensiones posibles de la caja.

27 En un plano se dan tres puntos $P,Q,R,$ no alineados. Sean $k, l, m$ números positivos. Construya un triángulo $ABC$ cuyos lados pasen por $P, Q,$ y $R$ de modo que $P$ divida al segmento $AB$ en la razón $1 : k$ , $Q$ divida al segmento $BC$ en la razón $1 : l$ , y $R$ divida al segmento $CA$ en la razón $1 : m.$

28 Sea $Q$ un cuadrado unitario en el plano: $Q = [0, 1] \times [0, 1]$ . Defínase $T :Q \longrightarrow Q$ como sigue: \[T(x, y) =\begin{cases} (2x, \frac{y}{2}) &\mbox{ if } 0 \le x \le \frac{1}{2};\\(2x - 1, \frac{y}{2}+ \frac{1}{2})&\mbox{ if } \frac{1}{2} < x \le 1.\end{cases}\] Demuestre que para todo disco $D \subset Q$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(D) \cap D \neq \emptyset.$ Amir

29 Sea $I = (0, 1]$ el intervalo unitario de la recta real. Para un número dado $a \in (0, 1)$ definimos una aplicación $T : I \to I$ mediante la fórmula \[ T (x, y) = \begin{cases} x + (1 - a),&\mbox{ if } 0< x \leq a,\\ \text{ } \\ x - a, & \mbox{ if } a < x \leq 1.\end{cases} \] Demuestre que para todo intervalo $J \subset I$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(J) \cap J \neq \emptyset.$ Amir

30 Demuestre que si $P(x) = (x-a)^kQ(x)$ , donde $k$ es un entero positivo, $a$ es un número real no nulo, $Q(x)$ es un polinomio no nulo, entonces $P(x)$ tiene al menos $k + 1$ coeficientes no nulos.

31 En cada cara lateral de una pirámide cuadrangular se inscribe un círculo. Los círculos inscritos en caras adyacentes son tangentes (tienen un punto en común). Demuestre que los puntos de contacto de los círculos con la base de la pirámide se encuentran sobre un círculo.

32 Considérese el tablero de ajedrez infinito que cubre todo el plano. En cada casilla del tablero hay un número real no negativo. Cada número es la media aritmética de los números en las cuatro casillas adyacentes del tablero. Demuestre que los números que aparecen en las casillas del tablero son todos iguales.