7. Encuentra todos los enteros positivos \( n \) para los cuales existen enteros positivos \( a>b \) que satisfacen \( n=\frac{4ab}{a-b} \).

8 Sean $A, B \in \mathbb{N}$. Considera una sucesión $x_1, x_2, \ldots$ tal que para todo $n\geq 2$, $$ x_{n+1}=A \cdot \gcd(x_n, x_{n-1})+B. $$ Demuestra que la sucesión alcanza solo un número finito de valores distintos.

1. Inicialmente, solo el entero $44$ está escrito en un pizarrón. Un entero $a$ en el pizarrón puede ser reemplazado por cuatro enteros distintos por pares $a_1, a_2, a_3, a_4$ tales que la media aritmética $\frac 14 (a_1 + a_2 + a_3 + a_4)$ de los cuatro nuevos enteros sea igual al número $a$. En un paso reemplazamos simultáneamente todos los enteros del pizarrón de la manera anterior. Después de $30$ pasos terminamos con $n = 4^{30}$ enteros $b_1, b_2,\ldots, b_n$ en el pizarrón. Demuestra que \[\frac{b_1^2 + b_2^2+b_3^2+\cdots+b_n^2}{n}\geq 2011.\] Amir

2 Sea $n \geq 3$ un entero. Juan y María juegan al siguiente juego: Primero Juan etiqueta los lados de un $n$ - gono regular con los números $1, 2,\ldots, n$ en el orden que quiera, usando cada número exactamente una vez. Luego María divide este $n$ - gono en triángulos trazando $n-3$ diagonales que no se intersecan entre sí dentro del $n$ - gono. Todas estas diagonales se etiquetan con el número $1$. En cada uno de los triángulos se escribe el producto de los números en sus lados. Sea $S$ la suma de esos $n - 2$ productos. Determina el valor de $S$ si María quiere que el número $S$ sea lo más pequeño posible y Juan quiere que $S$ sea lo más grande posible, y si ambos toman las mejores decisiones posibles. Amir

4 Sean $k$ y $m$, con $k > m$, enteros positivos tales que el número $km(k^2 - m^2)$ es divisible por $k^3 - m^3$. Demuestra que $(k - m)^3 > 3km$.

1 Encuentra todas las funciones \(f : \mathbb R \to \mathbb R\) tales que la igualdad \[y^2f(x) + x^2f(y) + xy = xyf(x + y) + x^2 + y^2\] se cumple para todos \(x, y \in \Bbb R\), donde \(\Bbb R\) es el conjunto de los números reales. Amir

Un conjunto finito de enteros positivos $A$ se llama *meanly* si para cada uno de sus subconjuntos no vacíos, la media aritmética de sus elementos es también un entero positivo. En otras palabras, $A$ es *meanly* si $\frac{1}{k}(a_1 + \dots + a_k)$ es un entero siempre que $k \ge 1$ y $a_1, \dots, a_k \in A$ sean distintos. Dado un entero positivo $n$, determina la menor suma posible de los elementos de un conjunto *meanly* de $n$ elementos.

8 Determina todas las cuádruplas $(x,y,z,t)$ de enteros positivos tales que \[ 20^x + 14^{2y} = (x + 2y + z)^{zt}.\]

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, respectivamente. Sea $F$ el punto tal que $D$ es el punto medio de $\overline{EF}$. Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $FDB$. Sea $G$ un punto en el segmento $\overline{CD}$ tal que el punto medio de $\overline{BG}$ está en $\Gamma$. Sea $H$ la segunda intersección de $\Gamma$ con $FC$. Demuestra que el cuadrilátero $BHGC$ es cíclico. Propuesto por Art Waeterschoot.

1 La fracción $\frac{3}{10}$ puede escribirse como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ de la siguiente manera: $\frac{3}{10} =\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$ y también $\frac{3}{10}=\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$ . Estas son las únicas dos maneras en que esto puede hacerse. ¿De cuántas maneras puede escribirse $\frac{3}{1984}$ como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ ? ¿Existe un entero positivo $n,$ no divisible por $3$ , tal que $\frac{3}{n}$ pueda escribirse como la suma de dos fracciones positivas con numerador $1$ en exactamente $1984$ maneras?