5 Un conjunto no vacío $A$ se llama un conjunto $n$ - nivel-bueno si $ A \subseteq \{1,2,3,\ldots,n\}$ y $|A| \le \min_{x\in A} x$ (donde $|A|$ denota el número de elementos de $A$ y $\min_{x\in A} x$ denota el mínimo de los elementos de $A$ ) . Sea $a_n$ el número de conjuntos $n$ - nivel-buenos. Demuestre que para todo entero positivo $n$ tenemos $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+1$ .

6 Sean $PA, PB$ tangentes a un círculo con centro en $O$ , y $C$ un punto sobre el arco menor $AB$ . La perpendicular desde $C$ a $PC$ interseca las bisectrices internas de los ángulos $AOC,BOC$ en $D,E$ . Muestre que $CD=CE$

7 Etiquete los lados de un $n$ - gon regular en sentido horario en el orden 1,2,..,n. Determine todos los enteros n ( $n\geq 4$ ) que satisfacen las siguientes condiciones: (1) se seleccionan $n-3$ diagonales no intersecantes del $n$ - gon, que subdividen el $n$ - gon en $n-2$ triángulos no superpuestos; (2) cada una de las $n-3$ diagonales elegidas se etiqueta con un entero, de modo que la suma de los números etiquetados en los tres lados de cada triángulo en (1) es igual a la de los demás;

8 Halle todos los enteros positivos $a$ tales que para cualquier entero positivo $n\ge 5$ tenemos $2^n-n^2\mid a^n-n^a$ .

1 Halle el menor entero positivo $m$ que satisface la siguiente condición: para todo número primo $p$ tal que $p>3$ , se tiene $105|9^{ p^2}-29^p+m.$ (28 de septiembre de 2012, Hohhot)

2 Muestre que entre cualesquiera $n\geq 3$ vértices de un $(2n-1)$ - gon regular podemos encontrar $3$ de ellos que formen un triángulo isósceles.

3 Sea $A$ un conjunto de $n$ elementos y $A_1, A_2, ... A_k$ subconjuntos de $A$ tales que para cualesquiera $2$ subconjuntos distintos $A_i, A_j$ , o bien son disjuntos o bien uno contiene al otro. Halle el valor máximo de $k$

4 $P$ es un punto en el $\vartriangle ABC$ , $\omega $ es la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC $ . $B P \cap \omega = \{ {B, B_1}\}$ , $C P \cap \omega =\{ {C, C_1} \}$ , $P E \perp A C$ , $PF \perp AB$ . Los radios de la circunferencia inscrita y de la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC $ son $r,R$ respectivamente. Demuestre que $$\frac{{EF}}{{{B_1}{C_1}}} \ge\frac{r}{R}.$$ https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/1/9/8b99561ba805c9e6fea33509440e256d84bf24.gif

1 $O$ es el circuncentro del triángulo acutángulo $\Delta ABC$ , $H$ es el ortocentro. $AD \bot BC$ , $EF$ es la mediatriz de $AO$ , $D,E$ sobre $BC$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\Delta ADE$ pasa por el punto medio de $OH$ .

2 Defina una sucesión $\{a_n\}$ mediante \[a_0=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=a_{n}+\frac{a_{n}^2}{2012}, (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots),\] halle un entero $k$ tal que $a_{k}<1<a_{k+1}.$ (29 de septiembre de 2012, Hohhot)