2012 g1 En el triángulo $\vartriangle ABC$ , $\angle A$ es el mayor ángulo interno. Sea $H$ su ortocentro. Los puntos medios de los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ se denotan por $D$ , $E$ y $F$ , respectivamente. El triángulo $\vartriangle ABC$ tiene alturas $AP$ , $BQ$ y $CR$ . Los puntos $ J$ y $ L$ se toman sobre $AB$ y $AC$ tales que $AD = EJ = FL$ . Los puntos $K$ y $M$ pertenecen a $AB$ y $AC$ tales que $CK$ es paralelo a $DJ$ y $BM$ es paralelo a $DL$ . a) Demuestre que $HK = HM$ . b) Las rectas $PR$ y $CK$ se encuentran en $T$ . Demuestre que $AB$ es paralelo a $QT$ .

2012 g2 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $O$ su circuncentro. Las rectas $AI$ , $BI$ y $CI$ se encuentran con la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC$ en $D$ , $E$ y $F$ . Los puntos medios de $EF$ , $FD$ y $DE$ se denotan por $ L$ , $M$ y $N$ , respectivamente. Sea $P$ el circuncentro de $\vartriangle LMN$ . Demuestre que $P$ , $O$ y $I$ son colineales.

Considere dos enteros coprimos $p{}$ y $q{}$ que son mayores que $1{}$ y difieren entre sí en más de $1{}$ . Demuestre que existe un entero positivo $n{}$ tal que \[\text{lcm}(p+n, q+n)<\text{lcm}(p,q).\]

2012 g3.2 Sea $\gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $P$ el punto medio del arco menor $BC$ . La paralela a $AB$ que pasa por $P$ corta a $BC, AC$ y $\gamma$ en los puntos $R,S$ y $T$ , respectivamente. Sean $K \equiv AP \cap BT$ y $L \equiv BS \cap AR$ . Muestre que $KL$ pasa por el punto medio de $AB$ si y solo si $CS = PR$ .

6 Demuestra que $ x^3 + x+ a^2 = y^2 $ tiene al menos un par de soluciones enteras positivas $ (x,y) $ para cada entero positivo $ a $ .

2 Determina el número de enteros positivos \(n\) para los cuales \((n+15)(n+2010)\) es un cuadrado perfecto.

Un círculo grande está inscrito en un rombo, y cada uno de dos círculos más pequeños toca dos lados del rombo y al círculo grande como se muestra en la figura de la derecha. Demuestre que las cuatro líneas discontinuas que unen los puntos donde los círculos tocan al rombo, como se muestra en la figura, forman un cuadrado.

2 Sean $f, g:\mathbb{Z}\rightarrow [0,\infty )$ dos funciones tales que $f(n)=g(n)=0$ con la excepción de una cantidad finita de enteros $n$ . Defina $h:\mathbb{Z}\rightarrow [0,\infty )$ mediante \[h(n)=\max \{f(n-k)g(k): k\in\mathbb{Z}\}.\] Sean $p$ y $q$ dos números reales positivos tales que $1/p+1/q=1$ . Demuestre que \[ \sum_{n\in\mathbb{Z}}h(n)\geq \Bigg(\sum_{n\in\mathbb{Z}}f(n)^p\Bigg)^{1/p}\Bigg(\sum_{n\in\mathbb{Z}}g(n)^q\Bigg)^{1/q}.\]

2 Sea $n$ un entero positivo. Halle el valor de la siguiente suma \[\sum_{(n)}\sum_{k=1}^n {e_k2^{e_1+\cdots+e_k-2k-n}},\] donde $e_k\in\{0,1\}$ para $1\leq k \leq n$ , y la suma $\sum_{(n)}$ se toma sobre todas las $2^n$ elecciones posibles de $e_1,\ldots ,e_n$ .

2 Halle el menor entero positivo que no puede representarse como $\frac{2^a-2^b}{2^c-2^d}$ para algunos enteros positivos $a, b, c, d$ .