10 Dada la ecuación \[ 4x^3 + 4x^2y - 15xy^2 - 18y^3 - 12x^2 + 6xy + 36y^2 + 5x - 10y = 0,\] halle todas las soluciones enteras positivas.

11 Dada la ecuación \[ y^4 + 4y^2x - 11y^2 + 4xy - 8y + 8x^2 - 40x + 52 = 0,\] halle todas las soluciones reales.

12 Sea $ P(x)$ un polinomio tal que se satisfacen las siguientes desigualdades: \[ P(0) > 0;\] \[ P(1) > P(0);\] \[ P(2) > 2P(1) - P(0);\] \[ P(3) > 3P(2) - 3P(1) + P(0);\] y también para todo número natural $ n,$ \[ P(n+4) > 4P(n+3) - 6P(n+2)+4P(n + 1) - P(n).\] Demuestre que para todo número natural positivo $ n,$ $ P(n)$ es positivo.

13 Sea $ n \leq 44, n \in \mathbb{N}.$ Demuestre que para cualquier función $ f$ definida sobre $ \mathbb{N}^2$ cuyas imágenes están en el conjunto $ \{1, 2, \ldots , n\},$ existen cuatro pares ordenados $ (i, j), (i, k), (l, j),$ y $ (l, k)$ tales que \[ f(i, j) = f(i, k) = f(l, j) = f(l, k),\] donde $ i, j, k, l$ se eligen de tal manera que existen números naturales $ m, p$ que satisfacen \[ 1989m \leq i < l < 1989 + 1989m\] y \[ 1989p \leq j < k < 1989 + 1989p.\]

14 Para un triángulo $ ABC,$ sea $ k$ su circunferencia circunscrita de radio $ r.$ Las bisectrices de los ángulos interiores $ A, B,$ y $ C$ del triángulo intersecan nuevamente la circunferencia $ k$ en los puntos $ A', B',$ y $ C'.$ Demuestre la desigualdad \[ 16Q^3 \geq 27 r^4 P,\] donde $ Q$ y $ P$ son las áreas de los triángulos $ A'B'C'$ y $ABC$ respectivamente.

15 Una sucesión $ a_1, a_2, a_3, \ldots$ se define recursivamente por $ a_1 = 1$ y $ a_{2^k+j} = -a_j$ $ (j = 1, 2, \ldots, 2^k).$ Demuestre que esta sucesión no es periódica.

16 Demuestre que cualesquiera dos puntos situados en el interior de un $ n-$ g on regular $ E$ pueden unirse mediante dos arcos circulares situados en el interior de $ E$ y que se encuentran formando un ángulo de al menos $ \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdot \pi.$

17 Sean $ a \in \mathbb{R}, 0 < a < 1,$ y $ f$ una función continua en $ [0, 1]$ que satisface $ f(0) = 0, f(1) = 1,$ y \[ f \left( \frac{x+y}{2} \right) = (1-a) f(x) + a f(y) \quad \forall x,y \in [0,1] \text{ with } x \leq y.\] Determine $ f \left( \frac{1}{7} \right).$

18 Hay algunos niños y niñas sentados en una cuadrícula de $ n \times n$. Conocemos el número de niñas en cada columna y fila y en cada línea paralela a las diagonales de la cuadrícula. ¿Para qué $ n$ es esta información suficiente para determinar las posiciones exactas de las niñas en la cuadrícula? ¿De qué asientos podemos afirmar con certeza que una niña está sentada allí o no?

19 Sean $ a_1, \ldots, a_n$ enteros positivos distintos que no contienen un $ 9$ en sus representaciones decimales. Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad \[ \sum^n_{i=1} \frac{1}{a_i} \leq 30.\]