3 Sea $A = (a_1, a_2, \ldots, a_{2001})$ una sucesión de enteros positivos. Sea $m$ el número de subsucesiones de 3 elementos $(a_i,a_j,a_k)$ con $1 \leq i < j < k \leq 2001$ , tales que $a_j = a_i + 1$ y $a_k = a_j + 1$ . Considerando todas las sucesiones $A$ de este tipo, halle el mayor valor de $m$ .

6 Halle todos los polinomios $ P (x) $ con coeficientes reales que satisfacen la identidad $ P (x ^ 2) = P (x) P (x + 1) $ .

7 Demuestre que para cualesquiera enteros $ n> m> 0 $ el número $ 2 ^n-1 $ tiene un divisor primo que no divide a $ 2 ^m-1 $ .

1 Resuelva en los números reales $ x,y\in R$ $x^5-y^5=x^3-y^3=x-y$

2 Sea $ M $ el punto medio del lado $ BC $ de un triángulo $ ABC $ . Sobre la recta $ AC $ hay puntos distintos $ L $ y $ N $ tales que $ AL = CN $ y $ CL = AN $ . Demuestre que las rectas $ LM $ y $ MN $ , al intersecar a la recta $ AB $ , forman puntos equidistantes con respecto a $ A $ y $ B $ , respectivamente.

3 Un tablero de Batalla Naval tiene la forma de una cuadrícula de $8\times8$ . Se pueden colocar detectores en celdas de la cuadrícula, cada uno de los cuales indica si un barco cubre esa celda. Después, se coloca en el tablero un barco de tamaño $1\times4$ . ¿Cuál es el número mínimo de celdas que deben equiparse con detectores para que la posición del barco pueda determinarse de manera única a partir de sus lecturas?

2010.1.1 Dado un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita del triángulo ABC. Las rectas $AI$ y $BI$ intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $A_1$ y $B_1$. Las rectas $A_1B_1$ y $CI$ se intersecan en el punto $C_1$. Sea $S$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $IA_1C_1$. Las rectas $SC_1$ y $BI$ intersecan el lado $AC$ en los puntos $D$ y $E$. Calcula las medidas de los ángulos del triángulo $ABC$ si $|CD| = |DE|$ y $\angle CBA = 2\angle ACB$.

4 En un planeta esférico Zork hay varias ciudades y rutas aéreas que las conectan. Cada ciudad tiene una ciudad gemela (la ciudad simétrica a ella con respecto al centro del planeta). Se sabe que si hay una aerolínea que conecta las ciudades $P$ y $Q$ , entonces también hay una aerolínea que conecta sus ciudades gemelas $P'$ y $Q'$ . También se sabe que se puede viajar de cualquier ciudad a cualquier otra usando la red de aerolíneas. El precio de una tonelada de combustible en dos ciudades cualesquiera conectadas por una aerolínea difiere en a lo sumo $50$ monedas de oro. Demuestre que existen dos ciudades gemelas en las que el precio de una tonelada de combustible difiere en a lo sumo $50$ monedas de oro.

5 Dadas dos circunferencias que tienen al menos un punto en común. Un punto $ M $ se llama singular si existen dos rectas distintas $ l $ y $ m $ que pasan por $ M $ y forman $ A $ y $ B $ en la intersección de la recta $ l $ con la primera circunferencia, y en la intersección de la recta $ m $ con la segunda circunferencia, los puntos $ C $ y $ D $ , tales que los cuatro puntos resultantes se encuentran sobre una misma circunferencia. Halle el lugar geométrico de todos los puntos singulares.

6 Sean $a, b, c$ números positivos que satisfacen $abc\geqslant\frac{1}{64}$ . Demuestre que \[a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{4}(a+b+c)\geqslant\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{4}.\]