52 En el plano se dan un punto $O$ y una sucesión de puntos $P_1, P_2, P_3, \ldots$ . Las distancias $OP_1, OP_2, OP_3, \ldots$ son $r_1, r_2, r_3, \ldots$ Sea $\alpha$ tal que $0 < \alpha < 1.$ Suponga que para todo $n$ la distancia del punto $P_n$ a cualquier otro punto de la sucesión es $\geq r^{\alpha}_n.$ Determine el exponente $\beta$ , lo más grande posible, tal que para alguna constante $C$ independiente de $n$ \[r_n \geq Cn^{\beta}, n = 1,2, \ldots\]

53 En las construcciones euclidianas en geometría se permite usar una regla y un compás. En las construcciones consideradas en esta pregunta no se permite el compás, pero se supone que la regla tiene dos bordes paralelos, que pueden usarse para construir dos rectas paralelas que pasan por dos puntos dados cuya distancia es al menos igual al ancho de la regla. Entonces la distancia entre las rectas paralelas es igual al ancho de la regla. Lleve a cabo las siguientes construcciones con tal regla. Construya: a) La bisectriz de un ángulo dado. b) El punto medio de un segmento de recta dado. c) El centro de una circunferencia que pasa por tres puntos dados no colineales. d) Una recta que pasa por un punto dado paralela a una recta dada. darij

54 ¿Es posible encontrar un conjunto de $100$ (o $200$ ) puntos sobre la frontera de un cubo tal que este conjunto permanezca fijo bajo todas las rotaciones que dejan fijo el cubo?

56 En un grupo de intérpretes, cada uno habla una de varias lenguas extranjeras; 24 de ellos hablan japonés, 24 malayo, 24 farsi. Demuestre que es posible seleccionar un subgrupo en el que exactamente 12 intérpretes hablen japonés, exactamente 12 hablen malayo y exactamente 12 hablen farsi.

57 Sean $a_1,\ldots,a_8$ números reales, no todos iguales a cero. Sea \[ c_n = \sum^8_{k=1} a^n_k\] para $n=1,2,3,\ldots$ . Dado que entre los números de la sucesión $(c_n)$ hay infinitos iguales a cero, determine todos los valores de $n$ para los cuales $c_n = 0.$

58 Se da un binomio lineal $l(z) = Az + B$ con coeficientes complejos $A$ y $B$ . Se sabe que el valor máximo de $|l(z)|$ sobre el segmento $-1 \leq x \leq 1$ $(y = 0)$ de la recta real en el plano complejo $z = x + iy$ es igual a $M.$ Demuestre que para todo $z$ \[|l(z)| \leq M \rho,\] donde $\rho$ es la suma de las distancias del punto $P=z$ a los puntos $Q_1: z = 1$ y $Q_3: z = -1.$

59 En la circunferencia con centro 0 y radio 1, el punto $A_0$ está fijo y los puntos $A_1, A_2, \ldots, A_{999}, A_{1000}$ están distribuidos de tal manera que el ángulo $\angle A_00A_k = k$ (en radianes). Corte la circunferencia en los puntos $A_0, A_1, \ldots, A_{1000}.$ ¿Cuántos arcos con longitudes distintas se obtienen?

4 Los números reales $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ , donde $n\ge 3$ , son tales que $\sum_{i=1}^{n}a_{i}=0$ y $2a_{k}\le\ a_{k-1}+a_{k+1}$ para todo $k=2,3,\ldots ,n-1$ . Halle el menor $f(n)$ tal que, para todo $k\in\left\{1,2,\ldots ,n\right\}$ , tengamos $|a_{k}|\le f(n)\max\left\{|a_{1}|,|a_{n}|\right\}$ .

1 El conjunto $M = \{1, 2, . . . , 2n\}$ está particionado en $k$ subconjuntos disjuntos $M_1,M_2, \dots, M_k,$ donde $n \ge k^3 + k.$ Demuestre que existen números pares $2j_1, 2j_2, \dots, 2j_{k+1}$ en $M$ que están en un mismo subconjunto $M_i$ $(1 \le i \le k)$ tales que los números $2j_1 - 1, 2j_2 - 1, \dots, 2j_{k+1} - 1$ están también en un mismo subconjunto $M_j (1 \le j \le k).$

2 Si \[f(x) = (x + 2x^2 +\cdots+ nx^n)^2 = a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots+ a_{2n}x^{2n},\] demuestre que \[a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{2n} =\dbinom{n + 1}{2}\frac{5n^2 + 5n + 2}{12}\]