8 En una cuadrícula de $100\times 100$ casillas, hay un ratón en la casilla superior izquierda, y hay un trozo de queso en la casilla inferior derecha. El ratón quiere moverse a la casilla inferior derecha para comer el queso. En cada paso, el ratón puede moverse de una casilla a una casilla adyacente (dos casillas se consideran adyacentes si comparten un lado común). Ahora, se puede colocar cualquier divisor en el lado común de dos casillas adyacentes de modo que el ratón no pueda moverse directamente entre estas dos casillas adyacentes. Una colocación de divisores se llama "buena" si el ratón aún puede llegar al queso después de colocar los divisores. Encuentre el menor entero positivo $n$ tal que, independientemente de cualquier colocación "buena" de $2023$ divisores, el ratón pueda llegar al queso en a lo sumo $n$ pasos.

1 Determine todos los enteros positivos $n,$ tales que $3^n+n^2+2019$ es un cuadrado perfecto.

2 Sean $O,H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $K$ la intersección de $AM$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle BHC$ , tal que $M$ está entre $A$ y $K$ . Sea $N$ la intersección de $HK$ y $BC$ . Demuestre que si $\angle BAM=\angle CAN$ , entonces $AN\perp OH$ .

3 Sea $S=\{(i,j) \vert i,j=1,2,\ldots ,100\}$ un conjunto formado por puntos del plano coordenado. Cada elemento de $S$ se colorea con uno de cuatro colores dados. Un subconjunto $T$ de $S$ se llama colorido si $T$ consta de exactamente $4$ puntos con colores distintos, que son los vértices de un rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Determine el máximo número posible de subconjuntos coloridos que $S$ puede tener, entre todos los patrones de coloración legítimos.

2 Suponga que $p,q$ son números primos tales que $\sqrt{p^2 +7pq+q^2}+\sqrt{p^2 +14pq+q^2}$ es un entero. Demuestre que $p = q$ .

3 Sea $n \geq 2$ un entero dado. $a)$ Demuestre que se pueden ordenar todos los subconjuntos del conjunto $\{1,2... ,n\}$ como una sucesión de subconjuntos $A_{1}, A_{2},\cdots , A_{2^{n}}$ , tal que $|A_{i+1}| = |A_{i}| + 1$ o $|A_{i}| - 1$ , donde $i = 1,2,3,\cdots , 2^{n}$ y $A_{2^{n} + 1} = A_{1}$ . $b)$ Determine todos los valores posibles de la suma $\sum \limits_{i = 1}^{2^n} (-1)^{i}S(A_{i})$ , donde $S(A_{i})$ denota la suma de todos los elementos de $A_{i}$ y $S(\emptyset) = 0$ , para cualquier sucesión de subconjuntos $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{2^n}$ que satisfaga la condición de $a)$

4 En un círculo $\Gamma_{1}$ , con centro en $O$ , $AB$ y $CD$ son dos cuerdas de longitudes distintas que se intersecan en $E$ dentro de $\Gamma_{1}$ . Un círculo $\Gamma_{2}$ , con centro en $I$ , es tangente interiormente a $\Gamma_{1}$ en $F$ , y también es tangente a $AB$ en $G$ y a $CD$ en $H$ . Una recta $l$ que pasa por $O$ interseca a $AB$ y $CD$ en $P$ y $Q$ respectivamente, de modo que $EP = EQ$ . La recta $EF$ interseca a $l$ en $M$ . Demuestre que la recta que pasa por $M$ paralela a $AB$ es tangente a $\Gamma_{1}$

1 ¿Existen un entero impar $n \geq 3$ y $n$ números primos distintos $p_1 , p_2, \cdots p_n$ tales que todos los $p_i + p_{i+1} (i = 1,2,\cdots , n$ y $p_{n+1} = p_{1})$ son cuadrados perfectos?

2 Sean $a,b,c > 0$ , demuestre que \[\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}\]

3 En el triángulo $ABC$ con $AB>AC$ e incentro $I$ , la circunferencia inscrita toca a $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. $M$ es el punto medio de $BC$ , y la altura desde $A$ corta a $BC$ en $H$ . El rayo $AI$ corta a las rectas $DE$ y $DF$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $M,L,H,K$ son concíclicos.