4 Sean $ a $ y $ b $ enteros positivos. Demuestra que existen enteros positivos $ x $ y $ y $ tales que \[ \binom{x+y}{2} = ax + by . \]

1 Encuentra todas las funciones \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) tales que \[ f( xf(x) + 2y) = f(x^2)+f(y)+x+y-1 \] se cumple para todo \( x, y \in \mathbb{R} \).

2 Sean $ x, y, z, w $ números reales no nulos tales que $ x+y \ne 0$, $ z+w \ne 0 $ y $ xy+zw \ge 0 $. Demuestra que \[ \left( \frac{x+y}{z+w} + \frac{z+w}{x+y} \right) ^{-1} + \frac{1}{2} \ge \left( \frac{x}{z} + \frac{z}{x} \right) ^{-1} + \left( \frac{y}{w} + \frac{w}{y} \right) ^{-1}\]

3 Hay $n \ge 2$ casas en el lado norte de una calle. Yendo de oeste a este, las casas están numeradas del 1 al $n$. El número de cada casa se muestra en una placa. Un día, los habitantes de la calle se burlan del cartero barajando sus placas de la siguiente manera: para cada par de casas vecinas, las placas actuales se intercambian exactamente una vez durante el día. ¿Cuántas secuencias diferentes de placas son posibles al final del día?

4 Considera un número finito de puntos en el plano sin tres puntos colineales. Todos estos puntos pueden colorearse de rojo o verde de modo que cualquier triángulo con vértices del mismo color contenga al menos un punto del otro color en su interior. ¿Cuál es el número máximo posible de puntos con esta propiedad?

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Construye un triángulo $PQR$ tal que $ AB = 2PQ $, $ BC = 2QR $, $ CA = 2 RP $, y las rectas $ PQ, QR, $ y $RP$ pasen por los puntos $ A, B, $ y $ C $, respectivamente. (Los seis puntos $ A, B, C, P, Q, $ y $ R $ son todos distintos.)

Llamamos asombroso a un entero positivo $n$ si existen enteros positivos $a, b, c$ tales que se cumple la igualdad \[n = (b, c)(a, bc) + (c, a)(b, ca) + (a, b)(c, ab).\] Demuestra que existen $2011$ enteros positivos consecutivos que son asombrosos. Nota. Con $(m, n)$ denotamos el máximo común divisor de los enteros positivos $m$ y $n$.

1 Sea \( (a_n)_{n=1}^{\infty} \) una sucesión de enteros con \( a_{n} < a_{n+1}, \quad \forall n \geq 1. \) Para toda cuádrupla \( (i,j,k,l) \) de índices tal que \( 1 \leq i < j \leq k < l \) y \( i + l = j + k \) tenemos la desigualdad \( a_{i} + a_{l} > a_{j} + a_{k}. \) Determina el menor valor posible de \( a_{2008}. \)

2 Considera un tablero de ajedrez de $ n \times n$ con $ n > 1, n \in \mathbb{N}.$ ¿Cuántas posibilidades hay de colocar $ 2n - 2$ piedras idénticas en el tablero (cada una en una casilla diferente) de modo que no haya dos piedras en la misma diagonal del tablero? Dos piedras están en la misma diagonal del tablero si el segmento que une los puntos medios de las respectivas casillas es paralelo a una de las diagonales del cuadrado de $ n \times n$.

3 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC = BC$. Su incírculo toca a $AB$ en $D$ y a $BC$ en $E$. Una recta distinta de $AE$ pasa por $A$ e interseca al incírculo en $F$ y $G$. La recta $AB$ interseca a las rectas $EF$ y $EG$ en $K$ y $L$, respectivamente. Demuestra que $DK = DL$.