1 Sean $x, y$ enteros y $p$ un primo para el cual \[ x^2-3xy+p^2y^2=12p \] Halle todas las ternas $(x,y,p)$ .

2 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales son perpendiculares entre sí y se intersecan en $E$ . Sea $P$ un punto del lado $AD$ distinto de $A$ tal que $PE=EC.$ La circunferencia circunscrita del triángulo $BCD$ interseca al lado $AD$ en $Q$ , donde $Q$ también es distinto de $A$ . La circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a la recta $EP$ en $P$ , interseca al segmento $AC$ en $R$ . Si los puntos $B, R, Q$ son concurrentes, muestre que $\angle BCD=90^{\circ}$ .

4 El jugador $A$ coloca un número impar de cajas alrededor de un círculo y distribuye $2013$ bolas en algunas de estas cajas. Luego el jugador $B$ elige una de estas cajas y toma las bolas que hay en ella. Después de eso, el jugador $A$ elige la mitad de las cajas restantes de modo que no haya dos consecutivas y toma las bolas que hay en ellas. Si el jugador $A$ garantiza tomar $k$ bolas, halle el máximo valor posible de $k$ .

3 El entero $n$ tiene exactamente seis divisores positivos, y son: $1<a<b<c<d<n$ . Sea $k=a-1$ . Si el $k$ - ésimo divisor (según el orden anterior) de $n$ es igual a $(1+a+b)b$ , halle el mayor valor posible de $n$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $m(\widehat {C}) = 90^\circ$ , y sea $D$ su incentro. Sea $N$ la intersección de la recta $AD$ y el lado $CB$ . Si $|CA|+|AD|=|CB|$ , y $|CN|=2$ , ¿cuánto vale $|NB|$ ?

2 Halle todas las soluciones de la ecuación $4^x+3^y=z^2$ en enteros positivos.

3 Hay $24$ vasos sobre una mesa. Al comienzo, solo tres de ellos están colocados boca abajo. En cada paso, damos la vuelta a cuatro vasos. ¿Podemos dejar todos los vasos boca arriba en a lo sumo $100$ pasos?

1 Sea $ABCD$ un trapecio tal que $AD\parallel BC$ y $|AB|=|BC|$ . Sean $E$ y $F$ los puntos medios de $[BC]$ y $[AD]$ , respectivamente. Si la bisectriz interna de $\triangle ABC$ pasa por $F$ , halle $|BD|/|EF|$ .

2 En un grupo de clasificación con $15$ equipos de voleibol, cada equipo juega con todos los demás exactamente una vez. Como no hay empates en voleibol, en cada partido hay un ganador. Después de jugados todos los partidos, un equipo se clasificaría si su número total de derrotas no excede a $N$ . Si hay al menos $7$ equipos clasificados, halle el menor valor posible de $N$ .

3 Halle todos los enteros positivos impares menores que $2007$ tales que la suma de todos sus divisores positivos sea impar.