2 Halle todas las soluciones reales de la ecuación $$(x+1)^{2001}+(x+1)^{2000}(x-2)+(x+1)^{1999}(x-2)^2+...+(x+1)^2(x-2)^{1999}+(x+1)^{2000}(x-2)+(x+1)^{2001}=0$$

3 En un pentágono convexo $ABCDE$ , las áreas de los triángulos $ABC, ABD, ACD$ y $ADE$ son iguales y valen $F$ . ¿Cuál es el área del triángulo $BCE$ ?

4 Sea $A_o =\{1, 2\}$ y para $n> 0, A_n$ se obtiene a partir de $A_{n-1}$ añadiendo a $A_{n-1}$ los números naturales que pueden representarse como la suma de dos números distintos de $A_{n-1}$ . Sea $a_n = |A_n |$ el número de elementos de $A_n$ . Determine $a_n$ en función de $n$ .

1 ¿Para qué números naturales $n$ se cumple $2^n > 10n^2 -60n + 80$ ?

2 Para cualquier número real $a$ , halle todos los números reales $x$ que satisfacen la siguiente ecuación. $$(2x + 1)^4 + ax(x + 1) - \frac{x}{2}= 0$$

3 Demuestre que si las diagonales de un cuadrilátero convexo son perpendiculares, entonces los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto de intersección de las diagonales sobre los lados de este cuadrilátero se encuentran en una misma circunferencia. ¿Es cierto el recíproco?

3 Consideramos dos círculos $k_1(M_1, r_1)$ y $k_2(M_2, r_2)$ con $z = M_1M_2 > r_1+r_2$ y una tangente exterior común con puntos de tangencia $P_1$ y $P2$ (es decir, que se encuentran en el mismo lado de la recta que une $M_1M_2$ ) . Ahora modificamos los radios de modo que su suma $r_1+r_2 = c$ permanezca constante. ¿Qué conjunto de puntos recorre el punto medio del segmento tangente $P_1P_2$ cuando $r_1$ varía de $0$ a $c$ ?

4 Consideramos la sucesión $\{u_n\}$ definida por recursión mediante $u_{n+1} =\frac{u_n(u_n + 1)}{n}$ para $n \ge 1$ . (a) Determine los términos de la sucesión para $u_1 = 1$ . (b) Demuestre que si un término de la sucesión es racional, entonces todos los términos posteriores también son números racionales. (c) Demuestre que para todo número natural $K$ existe un $u_1 > 1$ tal que los primeros $K$ términos de la sucesión son números naturales.

1 Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $x+y+z=1$ . Demuestre que siempre $\left( 1+\frac1x\right)\times\left(1+\frac1y\right)\times\left(1 +\frac1z\right)\ge 64$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad? Binomial-theorem

2 En el plano se dan siete puntos distintos $P_1, P_2, P_3, P_4, Q_1, Q_2, Q_3$ . Los puntos $P_1, P_2, P_3, P_4$ están sobre la recta $p$ , mientras que los puntos $Q_1, Q_2, Q_3$ no están sobre $p$ . Por cada uno de los tres puntos $Q_1, Q_2, Q_3$ se trazan las perpendiculares a las rectas que unen pares de los demás puntos. Demuestre que el número máximo de intersecciones posibles de todas las perpendiculares es 286, contando los puntos $Q_1, Q_2, Q_3$ como intersecciones. Binomial-theorem