80 Una balanza tiene un platillo izquierdo, un platillo derecho y una aguja que se mueve a lo largo de una regla graduada. Como muchas otras balanzas de almacén, esta funciona de la siguiente manera: se coloca un objeto de peso $ L$ en el platillo izquierdo y otro de peso $ R$ en el platillo derecho, y la aguja se detiene en el número $ R - L$ de la regla graduada. Hay $ n, (n \geq 2)$ bolsas de monedas, cada una con $ \frac{n(n-1)}{2} + 1$ monedas. Todas las monedas tienen el mismo aspecto (forma, color, etc.). $ n-1$ bolsas contienen monedas auténticas, todas con el mismo peso. La otra bolsa (no sabemos cuál es) contiene monedas falsas. Todas las monedas falsas tienen el mismo peso, y este peso es diferente del peso de las monedas auténticas. Una pesada legal consiste en colocar cierto número de monedas en uno de los platillos, poner cierto número de monedas en el otro platillo y leer el número indicado por la aguja en la regla graduada. Con solo dos pesadas legales es posible identificar la bolsa que contiene las monedas falsas. Encuentre una manera de hacerlo y explíquela.

81 Una función $ f$ de valores reales sobre $ \mathbb{Q}$ satisface las siguientes condiciones para $ \alpha, \beta \in \mathbb{Q}:$ arbitrarios: (i) $ f(0) = 0,$ (ii) $ f(\alpha) > 0 \text{ if } \alpha \neq 0,$ (iii) $ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha)f(\beta),$ (iv) $ f(\alpha + \beta) \leq f(\alpha) + f(\beta),$ (v) $ f(m) \leq 1989$ $ \forall m \in \mathbb{Z}.$ Demuestre que \[ f(\alpha + \beta) = \max\{f(\alpha), f(\beta)\} \text{ if } f(\alpha) \neq f(\beta).\]

77 Sean $ a, b, c, r,$ y $ s$ números reales. Demuestre que si $ r$ es una raíz de $ ax^2+bx+c = 0$ y s es una raíz de $ -ax^2+bx+c = 0,$ entonces \[ \frac{a}{2} x^2 + bx + c = 0\] tiene una raíz entre $ r$ y $ s.$

82 Sea $ A$ un conjunto de enteros positivos tal que ningún entero positivo mayor que 1 divide a todos los elementos de $ A.$ Demuestre que cualquier entero positivo suficientemente grande puede escribirse como suma de elementos de $ A.$ (Los elementos pueden aparecer varias veces en la suma.)

83 Sean $ a, b \in \mathbb{Z}$ que no son cuadrados perfectos. Demuestre que si \[ x^2 - ay^2 - bz^2 + abw^2 = 0\] tiene una solución no trivial en enteros, entonces también la tiene \[ x^2 - ay^2 - bz^2 = 0.\]

84 Sea $ n \in \mathbb{Z}^+$ y sean $ a, b \in \mathbb{R}.$ Determine el rango de $ x_0$ para el cual \[ \sum^n_{i=0} x_i = a \text{ and } \sum^n_{i=0} x^2_i = b,\] donde $ x_0, x_1, \ldots , x_n$ son variables reales.

85 Considérese un $ (2n +1)-$ g on regular inscrito en un círculo de radio $ r.$ Consideramos todos los triángulos cuyos vértices provienen de los vértices del $ (2n + 1)-$ g on regular. (a) ¿Cuántos de esos triángulos contienen el centro del círculo en su interior? (b) Halle la suma de las áreas de todos aquellos triángulos que contienen el centro del círculo en su interior.

86 Sea $ m$ un entero positivo impar, $ m > 2.$ Halle el entero positivo más pequeño $ n$ tal que $ 2^{1989}$ divide a $ m^n - 1.$

87 Considere en un plano $ P$ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4$ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j)$ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Demuestre que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\}$ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]

88 Demuestre que la sucesión $ (a_n)_{n \geq 0,}, a_n = [n \cdot \sqrt{2}],$ contiene una cantidad infinita de cuadrados perfectos.