1 La sucesión ${a_{n}}$ , $n\in \mathbb{N}$ , está dada de manera recursiva por $a_{1}=1$ , $a_{n}=\prod_{i=1}^{n-1} a_{i}+1$ , para todo $n\geq 2$ . Determine el menor número $M$ tal que $\sum_{n=1}^{m} \frac{1}{a_{n}} <M$ para todo $m\in \mathbb{N}$

2 Resuelva el sistema de ecuaciones $x+y+z=\pi$ $\tan x\tan z=2$ $\tan y\tan z=18$

3 Sea $a\geq 2$ un número natural fijo, y sea $a_{n}$ la sucesión $a_{n}=a^{a^{.^{.^{a}}}}$ (por ejemplo $a_{1}=a$ , $a_{2}=a^a$ , etc.). Demuestre que $(a_{n+1}-a_{n})|(a_{n+2}-a_{n+1})$ para todo número natural $n$ .

4 Demuestre la identidad $\sum_{k=2}^{n} k(k-1)\binom{n}{k} =\binom{n}{2} 2^{n-1}$ para todo $n=2,3,4,...$

5 Las rectas determinadas por los lados $AB$ y $CD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$ se intersecan en el punto $P$ . Demuestre que $\alpha +\gamma =\beta +\delta$ si y solo si $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ , donde $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ son las medidas de los ángulos internos de los vértices $A, B, C, D$ respectivamente.

1 Si $a,b\neq 0$ son números reales tales que $a^2b^2(a^2b^2+4)=2(a^6+b^6)$ , demuestre entonces que $a,b$ no pueden ser ambos racionales.

2 Halle todos los números reales $x$ que satisfacen $|2x+1|+|x-1|=2-x$ .

3 Demuestre que la suma $S=5+5^2+5^3+…+5^{2016}$ es divisible por $31$

4 En un planeta $Papella$ el año tiene $400$ días, contando los días desde $1-400$ . Un día festivo sería aquel día que es divisible por $6$ . El nuevo gobierno decide reformar el calendario y dividirlo en $10$ meses con $40$ días cada mes, y deciden que el día del mes que sea divisible por $6$ sea festivo. Demuestre que después de la reforma el número de días festivos después de un año disminuyó menos del $ 10 $ por ciento.

5 Se da un rectángulo $ABCD$ con longitud $|AB|=15cm$ y con longitud de la altura $|BE|=12cm$ , donde $BC$ es la altura del triángulo $ABC$ . Halle el perímetro y el área del rectángulo $ABCD$ .