1 Decimos que un triángulo $ABC$ es genial si se cumple lo siguiente: para cualquier punto $D$ sobre el lado $BC$, si $P$ y $Q$ son los pies de las perpendiculares desde $D$ a las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente, entonces la reflexión de $D$ en la recta $PQ$ yace sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Demuestra que el triángulo $ABC$ es genial si y solo si $\angle A = 90^{\circ}$ y $AB = AC$. Comité Senior de Problemas del Comité Australiano de Olimpiadas Matemáticas

3 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos con $abc \leq a+b+c$ . Demuestra que \[ a^2 + b^2 + c^2 \geq \sqrt 3 abc. \] Cristinel Mortici, Rumania Valentin

3 Encuentra el mínimo $k>2$ para el cual existen $k$ enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es un cuadrado.

2 Se dice que un conjunto de $n$ enteros positivos es balanceado si, para cada entero $k$ con $1 \leq k \leq n$ , el promedio de cualesquiera $k$ números del conjunto es un entero. Encuentre la suma máxima posible de los elementos de un conjunto balanceado, todos cuyos elementos sean menores o iguales que $2017$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . La circunferencia que pasa por $B, H$ y $C$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ , respectivamente, y el segmento $DE$ interseca a $HB$ y $HC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Dos puntos $X$ y $Y$ , ambos distintos de $A$ , están ubicados sobre las rectas $AP$ y $AQ$ , respectivamente, tales que $X, H, A, B$ son concíclicos y $Y, H, A, C$ son concíclicos. Demuestre que las rectas $XY$ y $BC$ son paralelas.

4 Se dice que un subconjunto $B$ de $\{1, 2, \dots, 2017\}$ tiene la propiedad $T$ si cualesquiera tres elementos de $B$ son los lados de un triángulo no degenerado. Encuentre el número máximo de elementos que puede contener un conjunto con la propiedad $T$ .

5 Sobre una circunferencia $\Gamma$ , se eligen los puntos $A, B, N, C, D, M$ en orden horario de tal manera que $N$ y $M$ son los puntos medios de los arcos horarios $BC$ y $AD$ , respectivamente. Sea $P$ la intersección de $AC$ y $BD$ , y sea $Q$ un punto sobre la recta $MB$ tal que $PQ$ es perpendicular a $MN$ . Se elige el punto $R$ sobre el segmento $MC$ tal que $QB = RC$ ; demuestre que el punto medio de $QR$ está sobre $AC$ .

6 Sean $n \geq 2$ y $m$ enteros positivos. Se colocan $m$ urnas en una línea. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan por turnos, comenzando con $A$ , de la siguiente manera. En cada turno, $A$ elige dos urnas y coloca una boleta en cada una de ellas. Después, $B$ elige una de las urnas y retira todas las boletas de ella. $A$ gana si, después de algún turno de $B$ , existe una urna que contenga $n$ boletas. Para cada $n$ , encuentre el valor mínimo de $m$ tal que $A$ pueda garantizar una victoria independientemente de cómo juegue $B$ .

2 Sea $ABCD$ un rectángulo y el círculo con centro $D$ y radio $DA$, que corta la extensión del lado $AD$ en el punto $P$. La recta $PC$ corta al círculo en el punto $Q$ y a la extensión del lado $AB$ en el punto $R$. Demuestra que $QB = BR$.

4 Un cubo de lado 3 se divide en 27 cubos unitarios. Los cubos unitarios se etiquetan arbitrariamente del 1 al 27 (cada cubo recibe un número distinto). Un movimiento consiste en intercambiar el cubo etiquetado con 27 con uno de sus 6 vecinos. ¿Es posible encontrar una secuencia finita de movimientos al final de la cual el cubo 27 esté en su posición original, pero el cubo \(n\) se haya movido a la posición que ocupaba originalmente el cubo \(27-n\) (para cada \(n = 1, 2, \ldots, 26\))? Valentin