N3 Para todo número natural $x{}$, sea $P(x)$ el producto de los dígitos del número $x{}$. ¿Existe un número natural $n{}$ tal que los números $P(n)$ y $P(n^2)$ sean cuadrados no nulos de números naturales, donde el número de dígitos de $n{}$ es igual a (a) 2021 y (b) 2022?

N4 Una liebre y una tortuga corren en la misma dirección, a velocidades constantes pero distintas, alrededor de la base de una torre cuadrada alta. Parten juntas desde el mismo vértice, y la carrera termina cuando ambas regresan al vértice inicial simultáneamente por primera vez. Supón que la liebre corre con velocidad 1, y la tortuga con velocidad menor que 1. ¿Para qué números racionales $q{}$ es cierto que, si la tortuga corre con velocidad $q{}$ , la fracción de toda la carrera durante la cual la tortuga puede ver a la liebre también es $q{}$ ?

A1 Sea $N \in \mathbb{N}$ y $x_k \in [-1,1]$ , $1 \le k \le N$ tales que $\sum_{k=1}^N x_k =s$ . Encuentra todos los valores posibles de $\sum_{k=1}^N |x_k|$

43 Demuestre que si para un polinomio $P(x, y)$ tenemos \[P(x - 1, y - 2x + 1) = P(x, y),\] entonces existe un polinomio $\Phi(x)$ tal que $P(x, y) = \Phi(y - x^2).$

4 Sea $\mathbb{R^+}$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ tales que $$xf(x + y) + f(xf(y) + 1) = f(xf(x))$$ para todo $x, y \in\mathbb{R^+}.$ Propuesto por Amadej Kristjan Kocbek, Jakob Jurij Snoj

20 Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P$. Demuestra que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]

2 Consideramos dos sucesiones de números reales $x_{1} \geq x_{2} \geq \ldots \geq x_{n}$ y $\ y_{1} \geq y_{2} \geq \ldots \geq y_{n}.$ Sea $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ una permutación de los números $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}.$ Demuestra que $\sum \limits_{i=1}^{n} ( x_{i} -\ y_{i} )^{2} \leq \sum \limits_{i=1}^{n}$ $( x_{i} - z_{i})^{2}.$

11.5 Todos los divisores de un entero positivo $n$ se listan en orden ascendente: $1=d_1<d_2< \ldots < d_k=n$. Resultó que la cantidad de pares $(d_i,d_{i+1})$ de divisores adyacentes tales que $d_{i+1}$ es un múltiplo de $d_i$ es impar. Demuestre que $n=pm^2$, donde $p$ es el divisor primo más pequeño de $n$ y $m$ es un entero positivo.

3 Sea $I \subseteq \mathbb{R}$ un intervalo y sea $f : I \to \mathbb{R}$ una función derivable. Sea $J = \left\{ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} : a, b \in I, a < b \right\}$ . Muestre que: $J$ es un intervalo. $J \subseteq f'(I)$ y $f'(I) - J$ contiene a lo sumo $2$ elementos.

15 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $X$ e $Y$ se encuentran en las prolongaciones más allá de $D$ de los lados $CD$ y $AD$ respectivamente, de modo que $DX = AB$ y $DY = BC$ . Análogamente, los puntos $Z$ y $T$ se encuentran en las prolongaciones más allá de $B$ de los lados $CB$ y $AB$ respectivamente, de modo que $BZ = AD$ y $BT = DC$ . Sea $M_1$ el punto medio de $XY$ , y $M_2$ el punto medio de $ZT$ . Demuestre que las rectas $DM_1, BM_2$ y $AC$ concurren.