2008.3.3 En un triángulo acutángulo $ABC$, se tiene $|AC| > |AB|$. Sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AC$ y $AB$ tales que $|CD| = |BE|$. Sea $F$ la intersección de los segmentos $BD$ y $CE$, y sea $G$ un punto en el lado $AC$ tal que la recta $GF$ es paralela a la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. Demuestra que $|CG| = |AB|$.

6 a) Demuestre que existe $a>0$ tal que para cada número natural $n$ existe un $n$ -ágono convexo $P$ en el plano con puntos de la red como vértices tal que el área de $P$ es menor que $an^3$ . b) Demuestre que existe $b>0$ tal que para cada número natural $n$ y cada $n$ -ágono $P$ en el plano con puntos de la red como vértices, el área de $P$ no es menor que $bn^2$ . c) Demuestre que existen $\alpha,c>0$ tales que para cada número natural $n$ y cada $n$ -ágono $P$ en el plano con puntos de la red como vértices, el área de $P$ no es menor que $cn^{2+\alpha}$ . Propuesto por Mostafa Eynollahzade

7 La ciudad de Bridge Village tiene algunas autopistas. Las autopistas son curvas cerradas que se intersecan entre sí o consigo mismas en cruces de $4$ vías. El Sr. Bridge Lover, alcalde de la ciudad, quiere construir un puente en cada cruce para disminuir el número de accidentes. Quiere construir los puentes de tal manera que en cada autopista, los autos pasen alternadamente por encima de un puente y por debajo de un puente. Conociendo el número de autopistas, determine si esta acción es posible o no. Propuesto por Erfan Salavati

8 a) ¿Existe un subconjunto infinito $S$ de los números naturales, tal que $S\neq \mathbb{N}$ , y tal que para cada número natural $n\not \in S$ , exactamente $n$ miembros de $S$ sean coprimos con $n$ ? b) ¿Existe un subconjunto infinito $S$ de los números naturales, tal que para cada número natural $n\in S$ , exactamente $n$ miembros de $S$ sean coprimos con $n$ ? Propuesto por Morteza Saghafian

1 (a) Decimos que un hiperplano $H$ dado por esta ecuación \[H=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n=b\}\] ( $a=(a_1,\dots,a_n)\in \mathbb R^n$ y $b\in \mathbb R$ constantes) biseca al conjunto finito $A\subseteq \mathbb R^n$ si cada uno de los dos semiespacios $H^+=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n>b\}$ y $H^-=\{(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb R^n \mid a_1x_1+ \dots +a_nx_n<b\}$ contiene a lo sumo $\lfloor \tfrac{|A|}{2}\rfloor$ puntos de $A$ . Suponga que $A_1,\dots,A_n$ son subconjuntos finitos de $\mathbb R^n$ . Demuestre que existe un hiperplano $H$ en $\mathbb R^n$ que los biseca a todos al mismo tiempo. (b) Suponga que los puntos de $B=A_1\cup \dots \cup A_n$ están en posición general. Demuestre que existe un hiperplano $H$ tal que $H^+\cap A_i$ y $H^-\cap A_i$ contienen exactamente $\lfloor \tfrac{|A_i|}{2}\rfloor$ puntos de $A_i$ . (c) Con la ayuda de la parte (b), muestre que el siguiente teorema es verdadero: Dos ladrones quieren dividir un collar abierto que tiene $d$ tipos diferentes de piedras, donde el número de piedras de cada tipo es par, de modo que cada uno de los ladrones reciba el mismo número de piedras de cada tipo. Muestre que los dos ladrones pueden lograrlo cortando el collar en a lo sumo $d$ lugares.

2 Demuestre que estas tres afirmaciones son equivalentes: (a) Para toda función continua $f:S^n \to \mathbb R^n$ , existe un $x\in S^n$ tal que $f(x)=f(-x)$ . (b) No existe una aplicación antipodal $f:S^n \to S^{n-1}$ . (c) Para todo recubrimiento de $S^n$ con conjuntos cerrados $A_0,\dots,A_n$ , existe un índice $i$ tal que $A_i\cap -A_i\neq \emptyset$ .

1 Demuestre que si la gráfica $G$ es un árbol, entonces existe un vértice que es común a todos los caminos más largos. Propuesto por Sina Rezayi

2 Demuestre que el número de permutaciones tales que el orden de cada elemento es un múltiplo de $d$ es $\frac{n!}{(\frac{n}{d})!d^{\frac{n}{d}}} \prod_{i=0}^{\frac{n}{d}-1} (id+1)$ . Propuesto por Mohammad Mansouri

3 Suponga que $p(n)$ es el número de particiones de un número natural $n$ . Demuestre que existe $c>0$ tal que $P(n)\ge n^{c \cdot \log n}$ . Propuesto por Mohammad Mansouri

$g$$n$$gcd(g^2-g,n)=1$$A=\{g^i|i \in \mathbb N\}$$B=\{x\equiv (n)|x\in A\}$$x\equiv (n)$$\{0,1,...,n-1\}$$x$$n$$0\le i\le g-1$$a_i=|[\frac{ni}{g},\frac{n(i+1)}{g})\cap B|$$g-1|\sum_{i=0}^{g-1}ia_i$$|$$|$$\frac{100}{6}$