C4 Los números de Fibonacci $F_0, F_1, F_2, . . .$ se definen inductivamente por $F_0=0, F_1=1$ y $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ para $n \ge 1$ . Dado un entero $n \ge 2$ , determine el menor tamaño de un conjunto $S$ de enteros tal que para cada $k=2, 3, . . . , n$ existan $x, y \in S$ tales que $x-y=F_k$ . Propuesto por Croatia

C5 Sea $p$ un primo impar y ponga $N=\frac{1}{4} (p^3 -p) -1.$ Los números $1,2, \dots, N$ se pintan arbitrariamente de dos colores, rojo y azul. Para cualquier entero positivo $n \leqslant N,$ denote $r(n)$ la fracción de enteros $\{ 1,2, \dots, n \}$ que son rojos. Demuestre que existe un entero positivo $a \in \{ 1,2, \dots, p-1\}$ tal que $r(n) \neq a/p$ para todo $n = 1,2, \dots , N.$ Netherlands

C6 Hay $4n$ piedrecitas de pesos $1, 2, 3, \dots, 4n.$ Cada piedrecita está coloreada con uno de $n$ colores y hay cuatro piedrecitas de cada color. Demuestre que podemos distribuir las piedrecitas en dos pilas de modo que se satisfagan las dos condiciones siguientes: Los pesos totales de ambas pilas son iguales. Cada pila contiene dos piedrecitas de cada color. Propuesto por Milan Haiman, Hungary y Carl Schildkraut, USA Aryan-23

C7 Considere cualquier tabla rectangular con finitas filas y columnas, con un número real $a(r, c)$ en la casilla de la fila $r$ y la columna $c$ . Un par $(R, C)$ , donde $R$ es un conjunto de filas y $C$ un conjunto de columnas, se llama par de silla si se satisfacen las dos condiciones siguientes: $(i)$ Para cada fila $r^{\prime}$ , existe $r \in R$ tal que $a(r, c) \geqslant a\left(r^{\prime}, c\right)$ para todo $c \in C$ ; $(ii)$ Para cada columna $c^{\prime}$ , existe $c \in C$ tal que $a(r, c) \leqslant a\left(r, c^{\prime}\right)$ para todo $r \in R$ . Un par de silla $(R, C)$ se llama par minimal si para cada par de silla $\left(R^{\prime}, C^{\prime}\right)$ con $R^{\prime} \subseteq R$ y $C^{\prime} \subseteq C$ , se tiene $R^{\prime}=R$ y $C^{\prime}=C$ . Demuestre que cualesquiera dos pares minimales contienen el mismo número de filas.

G2 Considere el cuadrilátero convexo $ABCD$ . El punto $P$ está en el interior de $ABCD$ . Se cumplen las siguientes igualdades de razones: \[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\] Demuestre que las siguientes tres rectas se cortan en un punto: las bisectrices interiores de los ángulos $\angle ADP$ y $\angle PCB$ y la mediatriz del segmento $AB$ . Propuesto por Dominik Burek, Poland

G3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle ABC>90$ , $CDA>90$ y $\angle DAB=\angle BCD$ . Denote por $E$ y $F$ las reflexiones de $A$ en las rectas $BC$ y $CD$ , respectivamente. Suponga que los segmentos $AE$ y $AF$ cortan a la recta $BD$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BEK$ y $DFL$ son tangentes entre sí. $\emph{Slovakia}$

G4 En el plano hay $n \geqslant 6$ discos disjuntos dos a dos $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ con radios $R_{1} \geqslant R_{2} \geqslant \ldots \geqslant R_{n}$ . Para cada $i=1,2, \ldots, n$ , se elige un punto $P_{i}$ en el disco $D_{i}$ . Sea $O$ un punto arbitrario del plano. Demuestre que \[O P_{1}+O P_{2}+\ldots+O P_{n} \geqslant R_{6}+R_{7}+\ldots+R_{n}.\] (Se supone que un disco contiene su frontera.)

G5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Los puntos $K, L, M, N$ se eligen sobre $AB, BC, CD, DA$ tales que $KLMN$ es un rombo con $KL \parallel AC$ y $LM \parallel BD$ . Sean $\omega_A, \omega_B, \omega_C, \omega_D$ las circunferencias inscritas de $\triangle ANK, \triangle BKL, \triangle CLM, \triangle DMN$ . Demuestre que las tangentes interiores comunes a $\omega_A$ , y $\omega_C$ y las tangentes interiores comunes a $\omega_B$ y $\omega_D$ son concurrentes.

G6 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ , incentro $I$ y $A$ -excentro $I_{A}$ . La circunferencia inscrita corta a $BC$ en $D$ . Defina $E = AD\cap BI_{A}$ , $F = AD\cap CI_{A}$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle AID$ y $\triangle I_{A}EF$ son tangentes entre sí

G7 Sea $P$ un punto sobre la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Sean $D,E,F$ las reflexiones de $P$ en la $A$ - mediana, $B$ - mediana y $C$ - mediana. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo formado por las mediatrices de $AD, BE, CF$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle ADP, \triangle BEP, \triangle CFP,$ y $\omega$ comparten un punto común.