1 De los trinomios cuadráticos $x^2 + px + q$ donde $p$ ; $q$ son enteros y $1\leqslant p, q \leqslant 1997$ , ¿cuáles hay más: los que tienen raíces enteras o los que no tienen raíces reales? M. Evdokimov

4b Los pentágonos $P_1P_2P_3P_4P_5$ y $I_1I_2I_3I_4I_5$ son cíclicos, donde $I_i$ es el incentro del triángulo $P_{i-1}P_iP_{i+1}$ (considerados cíclicamente, es decir, $P_0=P_5$ y $P_6=P_1$ ) . Demuestre que las rectas $P_1I_1, P_2I_2, P_3I_3, P_4I_4$ y $P_5I_5$ se cortan en un único punto.

2 Se nos da un polígono, una recta $l$ y un punto $P$ sobre $l$ en posición general: todas las rectas que contienen un lado del polígono cortan a $l$ en puntos distintos y diferentes de $P$ . Marcamos cada vértice del polígono tal que los lados que concurren en él, prolongados alejándose del vértice, cortan a la recta $l$ en lados opuestos de $P$ . Demuestre que $P$ está dentro del polígono si y solo si a cada lado de $l$ hay un número impar de vértices marcados. O. Musin

3 Una esfera inscrita en un tetraedro toca una cara en la intersección de sus bisectrices de ángulos, una segunda cara en la intersección de sus alturas y una tercera cara en la intersección de sus medianas. Demuestre que el tetraedro es regular. N. Agakhanov

4 En una cuadrícula rectangular $m\times n$, donde m y n son enteros impares, se colocan inicialmente dominós $1\times 2$ de modo que cubran exactamente todos menos uno de los cuadrados $1\times 1$ en una esquina de la cuadrícula. Está permitido deslizar un dominó hacia el cuadrado vacío, dejando así al descubierto otro cuadrado. Demuestre que mediante una sucesión de tales movimientos podemos mover el cuadrado vacío a cualquier esquina del rectángulo. A. Shapovalov

1 ¿Cuáles hay más entre los números naturales del 1 al 1000000, inclusive: los números que pueden representarse como la suma de un cuadrado perfecto y un cubo perfecto (positivo), o los números que no pueden? A. Golovanov

2 Los centros $O_1$ ; $O_2$ ; $O_3$ de tres circunferencias no intersecantes de igual radio están situados en los vértices de un triángulo. Desde cada uno de los puntos $O_1$ ; $O_2$ ; $O_3$ se trazan tangentes a las otras dos circunferencias dadas. Se sabe que las intersecciones de estas tangentes forman un hexágono convexo. Los lados del hexágono están coloreados alternadamente de rojo y azul. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos es igual a la suma de las longitudes de los lados azules. D. Tereshin

3 Sean $x, y, p, n$ y $k$ enteros positivos tales que $x^n + y^n = p^k$ . Demuestre que si $n > 1$ es impar y $p$ es un primo impar, entonces $n$ es una potencia de $p$ . A. Kovaldji, V. Senderov

5 Demuestre que en la progresión aritmética con primer término 1 y razón 729 hay infinitas potencias de 10. L. Kuptsov

6 En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AC = BC$ ) el punto $O$ es el circuncentro, $I$ el incentro, y $D$ está sobre $BC$ de modo que las rectas $OD$ y $BI$ son perpendiculares. Demuestre que $ID$ y $AC$ son paralelas. M. Sonkin