3 Sean $ z_{1},z_{2},z_{3}$ tres números complejos de módulos menores o iguales que $ 1$ . $ w_{1},w_{2}$ son dos raíces de la ecuación $ (z - z_{1})(z - z_{2}) + (z - z_{2})(z - z_{3}) + (z - z_{3})(z - z_{1}) = 0$ . Demuestre que, para $ j = 1,2,3$ , se cumple $\min\{|z_{j} - w_{1}|,|z_{j} - w_{2}|\}\leq 1$ . Fang-jh

6 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función de valores reales definida sobre el conjunto de los números reales que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todos los números reales $x$ y $y$ . Demuestre que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$ . Propuesto por Igor Voronovich, Bielorrusia Amir

3 El triángulo $ ABC$ está inscrito en una circunferencia. Las bisectrices interiores de los ángulos $ A,B$ y $ C$ intersecan nuevamente a la circunferencia en $ A', B'$ y $ C'$ respectivamente. Demuestre que el área del triángulo $ A'B'C'$ es mayor o igual que el área del triángulo $ ABC.$

3 En un plano, los círculos $\mathcal K_1$ y $\mathcal K_2$ con centros $I_1$ e $I_2$, respectivamente, se intersecan en dos puntos $A$ y $B$. Supón que $\angle I_1AI_2$ es obtuso. La tangente a $\mathcal K_1$ en $A$ interseca a $\mathcal K_2$ nuevamente en $C$, y la tangente a $\mathcal K_2$ en $A$ interseca a $\mathcal K_1$ nuevamente en $D$. Sea $\mathcal K_3$ el circuncírculo del triángulo $BCD$. Sea $E$ el punto medio del arco $CD$ de $\mathcal K_3$ que contiene a $B$. Las rectas $AC$ y $AD$ intersecan a $\mathcal K_3$ nuevamente en $K$ y $L$, respectivamente. Demuestra que la recta $AE$ es perpendicular a $KL$. Amir

1. Encuentra todas las funciones \(f\) de los reales a los reales tales que \[f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right)\] para todos los reales \(x,y\).

1 Un mago tiene cien cartas numeradas del 1 al 100. Las coloca en tres cajas, una roja, una blanca y una azul, de modo que cada caja contenga al menos una carta. Un miembro del público saca dos cartas de dos cajas distintas y anuncia la suma de los números de esas cartas. Con esta información, el mago localiza la caja de la que no se ha sacado ninguna carta. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las cartas en las tres cajas para que el truco funcione? Valentin

13 Sean $m$ cajas dadas, con algunas bolas en cada caja. Sea $n < m$ un entero dado. Se realiza la operación siguiente: elija $n$ de las cajas y ponga $1$ bola en cada una de ellas. Demuestre: (a) Si $m$ y $n$ son primos relativos, entonces es posible, realizando la operación un número finito de veces, llegar a la situación en que todas las cajas contienen un número igual de bolas. (b) Si $m$ y $n$ no son primos relativos, existen distribuciones iniciales de bolas en las cajas tales que una distribución igual no es posible de alcanzar. Amir

3 $h_a$ , $h_b$ y $h_c$ son las alturas, $t_a$ , $t_b$ y $t_c$ son las medianas de un triángulo acutángulo, $r$ es el radio de la circunferencia inscrita y $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Demuestre que $$\frac{t_a}{h_a}+\frac{t_b}{h_b}+\frac{t_c}{h_c} \leq 1+ \frac{R}{r}$$

21 Todos los ángulos del hexágono $ABCDEF$ son iguales. Demuestre que \[AB-DE=EF-BC=CD-FA \]

1 Sea $a_1=1$ y $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{2a_n}$ para $n \geq 1$ . Demuestre que $a)$ $n \leq a_n^2 < n + \sqrt[3]{n}$ $b)$ $\lim_{n\to\infty} (a_n-\sqrt{n})=0$