1 $a,b,c>1$ . Demuestre que $a^a+b^b+c^c\geq{a^b+b^c+c^a}$

3 Dado un triángulo rectángulo con $\angle{C}=90^{\circ}$ . Las circunferencias inscrita y exinscrita de $ABC$ son tangentes al lado $BC$ en los puntos $A_1$ y $A_2$ . De manera análoga, se definen los puntos $B_1$ y $B_2$ . Demuestre que los segmentos $A_1B_2$ y $B_1A_2$ se intersecan en una altura trazada desde el vértice $C$ del triángulo $ABC$ .

4 En el triángulo $ABC$ , el punto $N$ es el pie de la bisectriz del ángulo $B$ , y el punto $M$ es el punto medio del lado $AC$ . Sobre el segmento $BN$ hay puntos $A_1$ y $C_1$ tales que $NA = NA_1$ y $NC = NC_1$ . Las rectas $AA_1$ y $CC_1$ se cortan en $E$ . La recta $ME$ interseca a $BC$ en $F$ . Demuestre la igualdad $AB + BF = CF$ .

Los números reales \( a, b, c \) satisfacen las siguientes condiciones: \[ 1000 < |a| < 2000, \quad 1000 < |b| < 2000, \quad 1000 < |c| < 2000, \] y \[ \frac{ab^2}{a+b} + \frac{bc^2}{b+c} + \frac{ca^2}{c+a} = 0. \] ¿Cuáles son los posibles valores de la expresión \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}? \] Propuesto por Vadym Solomka

5 Un árbol binario completo consta de $n+1$ niveles, donde de cada vértice salen dos aristas hacia abajo y una arista proviene de arriba (el vértice superior del nivel $1$ no tiene arista entrante, y los vértices del último nivel $(n+1)$ - ésimo no tienen aristas salientes). En la figura siguiente se da un ejemplo con $n=3$ . ¿De cuántas maneras se pueden colorear las aristas de este árbol con $2^{n}$ colores dados (cada arista se colorea con un color) de modo que, para cada color, todas las aristas de ese color formen un camino desde algún vértice hasta un vértice del último nivel? (Un camino es una sucesión de vértices en la que cada par consecutivo está unido por una arista, y cada vértice siguiente se encuentra en un nivel inferior.) [asy] size(6cm); real H=0; int n=3, k=0, l=1; while(k<n+1){ for(int i=2^k; i<2^(k+1); ++i){ while(k>l-1){ if(floor(i/2^(l-1))%2==0){ H=H-0.5^l;} else{ H=H+0.5^l;} ++l;} dot((H,-k/3)); if(k!=n){ draw((H-0.5^l,-(k+1)/3)--(H,-k/3)--(H+0.5^l,-(k+1)/3));} l=1; H=0;} ++k;} [/asy]

6 Dados $n,k$ enteros positivos, y $(n+1)(n+2)...(n+k)-k$ es un cuadrado perfecto. Halle todos los $k,n$ .

1 La circunferencia $W$ , circunscrita al triángulo $ABC$ , interseca los lados $AD$ y $DC$ del paralelogramo $ABCD$ , por segunda vez en los puntos $A_1$ y $C_1$ , respectivamente. Sea $E$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $A_1C_1$ . Sea $BF$ un diámetro de $W$ , y el punto $O_1$ es simétrico al centro de $W$ con respecto a $AC$ . Demuestre que las rectas $FO_1$ y $DE$ son perpendiculares.

2 Dado un entero positivo $a$ . Demuestre que para cualquier entero positivo $m$ , existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el número de divisores de $na^n+1$ es divisible por $m$ .

3 En el plano están definidos 2015 puntos, de los cuales no hay tres colineales ni cuatro en una circunferencia. Considérese una circunferencia que pasa por tres puntos de un conjunto dado y divide a los restantes por la mitad, es decir, 1006 quedan dentro de la circunferencia y 1006 fuera. Demuestre que hay al menos tres de las circunferencias consideradas que se intersecan en dos puntos de un conjunto dado.

4 Dada una función $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tal que para cualesquiera enteros $x$ e $y$ se cumple $f(x-f(y))-f(2x-f(y))=f(x)^2$ . Demuestre que para todo entero $x$ se cumple la igualdad $f(f(x))=0$ . Aquí $Z$ es el conjunto de los enteros.