5 Al lanzar un dado injusto de seis caras numeradas $1, 2, 3, 4, 5$ y $6$, la probabilidad de obtener la cara $F$ es mayor que $\frac{1}{6}$, la probabilidad de obtener la cara opuesta es menor que $\frac{1}{6}$, la probabilidad de obtener cualquiera de las otras cuatro caras es $\frac{1}{6}$, y la suma de los números en caras opuestas es $7$. Cuando se lanzan dos de estos dados, la probabilidad de obtener una suma de $7$ es $\frac{47}{288}$. Dado que la probabilidad de obtener la cara $F$ es $\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $m+n$.

El cuadrado $ABCD$ tiene lados de longitud 1. Los puntos $E$ y $F$ están sobre $\overline{BC}$ y $\overline{CD}$, respectivamente, de modo que $\triangle AEF$ es equilátero. Un cuadrado con vértice $B$ tiene lados paralelos a los de $ABCD$ y un vértice sobre $\overline{AE}$. La longitud de un lado de este cuadrado más pequeño es $\displaystyle \frac{a-\sqrt{b}}{c}$, donde $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $a+b+c$.

Se dibuja un ángulo sobre un conjunto de rectas paralelas igualmente espaciadas, como se muestra. La razón del área de la región sombreada $\mathcal{C}$ al área de la región sombreada $\mathcal{B}$ es $11/5$. Encuentra la razón del área de la región sombreada $\mathcal{D}$ al área de la región sombreada $\mathcal{A}$.

El hexágono \(ABCDEF\) está dividido en cuatro rombos, \(\mathcal{P, Q, R, S,}\) y \(\mathcal{T,}\) como se muestra. Los rombos \(\mathcal{P, Q, R,}\) y \(\mathcal{S}\) son congruentes, y cada uno tiene área \(\sqrt{2006}\). Sea \(K\) el área del rombo \(\mathcal{T}\). Dado que \(K\) es un entero positivo, encuentra el número de valores posibles para \(K\).

9 círculos $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ tienen sus centros en $(0,0)$, $(12,0)$ y $(24,0)$, y tienen radios 1, 2 y 4, respectivamente. La recta $t_1$ es una tangente interna común a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ y tiene pendiente positiva, y la recta $t_2$ es una tangente interna común a $\mathcal{C}_2$ y $\mathcal{C}_3$ y tiene pendiente negativa. Dado que las rectas $t_1$ y $t_2$ se intersectan en $(x,y)$, y que $x=p-q\sqrt{r}$, donde $p$, $q$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra $p+q+r$.

Diez círculos de diámetro 1 están empaquetados en el primer cuadrante del plano coordenado como se muestra. Sea la región $\mathcal{R}$ la unión de las ocho regiones circulares. La recta $l,$ con pendiente 3, divide a $\mathcal{R}$ en dos regiones de igual área. La ecuación de la recta $l$ se puede expresar en la forma $ax=by+c,$ donde $a, b,$ y $c$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es 1. Encuentra $a^2+b^2+c^2.$ [asy] size(150);defaultpen(linewidth(0.7)); draw((6.5,0)--origin--(0,6.5), Arrows(5)); int[] array={3,3,2}; int i,j; for(i=0; i<3; i=i+1) { for(j=0; j<array[i]; j=j+1) { draw(Circle((1+2*i,1+2*j),1)); }} label("x", (7,0)); label("y", (0,7));[/asy]

11 Una colección de 8 cubos consiste en un cubo con arista de longitud $k$ para cada entero $k,\thinspace 1 \le k \le 8.$ Se va a construir una torre usando los 8 cubos según las reglas: $\bullet$ Cualquier cubo puede ser el cubo de abajo en la torre. $\bullet$ El cubo inmediatamente encima de un cubo con arista de longitud $k$ debe tener arista de longitud a lo más $k+2.$ Sea $T$ el número de torres diferentes que se pueden construir. ¿Cuál es el residuo cuando $T$ se divide entre 1000?

El triángulo equilátero $\triangle ABC$ está inscrito en un círculo de radio 2. Extiende $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta el punto $D$ de modo que $AD=13$, y extiende $\overline{AC}$ más allá de $C$ hasta el punto $E$ de modo que $AE=11$. Por $D$, traza una recta $l_1$ paralela a $\overline{AE}$, y por $E$, traza una recta ${l}_2$ paralela a $\overline{AD}$. Sea $F$ la intersección de ${l}_1$ y ${l}_2$. Sea $G$ el punto sobre el círculo que es colineal con $A$ y $F$ y distinto de $A$. Dado que el área de $\triangle CBG$ se puede expresar en la forma $\frac{p\sqrt{q}}{r}$, donde $p$, $q$ y $r$ son enteros positivos, $p$ y $r$ son primos relativos, y $q$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra $p+q+r$.

Un trípode tiene tres patas, cada una de longitud 5 pies. Cuando el trípode está armado, el ángulo entre cualquier par de patas es igual al ángulo entre cualquier otro par, y la parte superior del trípode está a 4 pies del suelo. Al armar el trípode, el pie inferior de 1 pie de una pata se rompe. Sea \(h\) la altura en pies de la parte superior del trípode desde el suelo cuando el trípode roto está armado. Entonces \(h\) se puede escribir en la forma \(\frac m{\sqrt{n}},\) donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos y \(n\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(\lfloor m+\sqrt{n}\rfloor.\) (La notación \(\lfloor x\rfloor\) denota el mayor entero que es menor o igual que \(x\).)

15 Dado que $x$, $y$ y $z$ son números reales que satisfacen: \[ x=\sqrt{y^2-\frac{1}{16}}+\sqrt{z^2-\frac{1}{16}} \] \[ y=\sqrt{z^2-\frac{1}{25}}+\sqrt{x^2-\frac{1}{25}} \] \[ z=\sqrt{x^2-\frac{1}{36}}+\sqrt{y^2-\frac{1}{36}} \] y que $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, encuentra $m+n$.